Dôkaz tvrdenia o grupách spomenutého na prednáške
Posted: Thu Feb 26, 2015 8:41 pm
Toto tvrdenie o grupách bolo spomenuté na prvej prednáške z algebry v letnom semestri. Podarilo sa mi nájsť jeho dôkaz.
Tvrdenie:
Nech $G \neq \emptyset$, nech $*$ je binárna operácia na $G$. Ak platí:
Dôkaz:
Najprv ukážeme, že v $(G, *)$ platí ľavý zákon o krátení. Nech $a, b, c$ sú ľubovoľné prvky z $G$, nech $a * b = a * c$.
$$
\begin{align}
a * b &= a * c \\
a^{-1} * (a * b) &= a^{-1} * (a * c) \\
(a^{-1} * a) * b &= (a^{-1} * a) * c \\
e * b &= e * c \\
b &= c
\end{align}
$$
Teraz ukážeme, že pre ľubovoľné $a \in G$ platí $a * e = a$ (t.j. že $e$ je aj pravý neutrálny prvok).
$$
\begin{align}
e * e &= e \\
(a^{-1} * a) * e &= a^{-1} * a \\
a^{-1} * (a * e) &= a^{-1} * a \\
a * e &= a
\end{align}
$$
V poslednom kroku sme využili ľavý zákon o krátení.
Napokon ukážeme, že pre ľubovoľné $a \in G$ platí $a * a^{-1} = e$ (t.j. že $a^{-1}$ je aj pravý inverzný prvok pre $a$).
$$
\begin{align}
e * a^{-1} &= a^{-1} * e \\
(a^{-1} * a) * a^{-1} &= a^{-1} * e \\
a^{-1} * (a * a^{-1}) &= a^{-1} * e \\
a * a^{-1} &= e
\end{align}
$$
V poslednom kroku sme opäť využili ľavý zákon o krátení.
Takže:
Samozrejme platí aj podobné tvrdenie, ktoré dostaneme z nášho prvého tvrdenia tak, že v predpoklade (b) zameníme "ľavý neutrálny prvok" za "pravý neutrálny prvok" a v predpoklade (c) zameníme "ľavý inverzný prvok" za "pravý inverzný prvok". Dôkaz tohto tvrdenia je samozrejme analogický.
Avšak také tvrdenie, kde v predpoklade (b) hovoríme o ľavom (resp. pravom) neutrálnom prvku a v (c) o pravom (resp. ľavom) inverznom prvku (t.j. predpoklady sú "do kríža"), údajne nie je pravdivé. Nepodarilo sa mi však nájsť kontrapríklad. Ak má niekto nápad, nech neváha a dá o ňom vedieť
.
Tvrdenie:
Nech $G \neq \emptyset$, nech $*$ je binárna operácia na $G$. Ak platí:
- $*$ je asociatívna na $G$
- $*$ má ľavý neutrálny prvok $e \in G$
- pre každý prvok $a \in G$ existuje ľavý inverzný prvok $a^{-1} \in G$
Dôkaz:
Najprv ukážeme, že v $(G, *)$ platí ľavý zákon o krátení. Nech $a, b, c$ sú ľubovoľné prvky z $G$, nech $a * b = a * c$.
$$
\begin{align}
a * b &= a * c \\
a^{-1} * (a * b) &= a^{-1} * (a * c) \\
(a^{-1} * a) * b &= (a^{-1} * a) * c \\
e * b &= e * c \\
b &= c
\end{align}
$$
Teraz ukážeme, že pre ľubovoľné $a \in G$ platí $a * e = a$ (t.j. že $e$ je aj pravý neutrálny prvok).
$$
\begin{align}
e * e &= e \\
(a^{-1} * a) * e &= a^{-1} * a \\
a^{-1} * (a * e) &= a^{-1} * a \\
a * e &= a
\end{align}
$$
V poslednom kroku sme využili ľavý zákon o krátení.
Napokon ukážeme, že pre ľubovoľné $a \in G$ platí $a * a^{-1} = e$ (t.j. že $a^{-1}$ je aj pravý inverzný prvok pre $a$).
$$
\begin{align}
e * a^{-1} &= a^{-1} * e \\
(a^{-1} * a) * a^{-1} &= a^{-1} * e \\
a^{-1} * (a * a^{-1}) &= a^{-1} * e \\
a * a^{-1} &= e
\end{align}
$$
V poslednom kroku sme opäť využili ľavý zákon o krátení.
Takže:
- $*$ je asociatívna na $G$
- $*$ má obojstranný neutrálny prvok $e \in G$
- pre každý prvok $a \in G$ existuje obojstranný inverzný prvok $a^{-1} \in G$
Samozrejme platí aj podobné tvrdenie, ktoré dostaneme z nášho prvého tvrdenia tak, že v predpoklade (b) zameníme "ľavý neutrálny prvok" za "pravý neutrálny prvok" a v predpoklade (c) zameníme "ľavý inverzný prvok" za "pravý inverzný prvok". Dôkaz tohto tvrdenia je samozrejme analogický.
Avšak také tvrdenie, kde v predpoklade (b) hovoríme o ľavom (resp. pravom) neutrálnom prvku a v (c) o pravom (resp. ľavom) inverznom prvku (t.j. predpoklady sú "do kríža"), údajne nie je pravdivé. Nepodarilo sa mi však nájsť kontrapríklad. Ak má niekto nápad, nech neváha a dá o ňom vedieť
.