Na náhradnej písomke bolo takéto zadanie:
Nájdite determinant
$$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n
\end{vmatrix},
$$
t.j. determinant matice rozmerov $n\times n$ takej, že $a_{ij}=\min\{i,j\}$.
Druhá skupina mala rovnaké zadanie, len boli povymieňané riadky/stĺpce. Determinant tam vyšiel rovnaký, pretože išlo o maticu, ktorá sa z tejto dostane párnym počtom výmen riadkov/stĺpcov. (Na tomto mieste by som asi mal trochu frflať, že ak na náhradnú písomku bolo treba nachystať dve skupiny, tak vás asi na cviku, kde sa písala písomka, chýbalo dosť veľa. Ale snáď stačí, že som na túto tému
už frflal.)
Keď vyskúšame prvých pár hodnôt, zistíme, že $D_1=1$, $D_2=2-1=1$, $D_3=6+2+2-2-4-3=1$. Uvidíme, že všeobecne to bude $D_n=1$.
Dá sa vymyslieť veľa pomerne jednoduchých riešení.
Napríklad:
$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 & 3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n-1\\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 & 3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n-1\\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n-1
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 & 3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n-1\\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1
\end{vmatrix}=D_{n-1}$
Prvý determinant je nulový, lebo má dva rovnaké riadky.
(V podstate presne to isté viem dosiahnuť jednou riadkovou úpravou.)
Ak už vieme, že $D_n=D_{n-1}$ a $D_1=1$, tak sú jednoznačne určené všetky hodnoty.
Iné riešenie cez riadkové úpravy -- odčítať prvý riadok od všetkých ostatných:
$D_n=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 & 1 & 2 & \ldots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 1 & 2 & \ldots & n-1
\end{vmatrix}=D_{n-1}$
Ešte inak cez riadkové úpravy (takto alebo podobne ste to viacerí vyriešili na písomke):
Odpočítať vždy od $k$-teho riadku $(k-1)$-vý riadok:
$D_n=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
1 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \ldots & n
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1
\end{vmatrix}=1$
Ďalšia možnosť je všimnúť si, že je to druhá mocnina matice, ktorej determinant je $\pm1$. Napríklad pre $n=4$ mám:
$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}^2=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}
$
Podobne to zafunguje všeobecne.