msleziak.com

Každá konečná grupa s párnym počtom prvkov obsahuje prvok $x$ taký, že $x = x ^{-1}$.

Nech $G$ je konečná grupa s párnym počtom prvkov, nech $G = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$, kde $n$ je párne. Pretože $G$ je grupa, musí obsahovať neutrálny prvok, označme ho $e$. BUNV, nech $a_n = e$. Pre všetky prvky grupy $G$ platí, že k nim v grupe existuje inverzný prvok, teda ku každému $a \in G \quad \exists a^{-1}$ také, že $aa^{-1} = e = a^{-1}a$. Tento prvok je zároveň jednoznačne určený - predpokladajme, že pre prvok $a \in G$ existujú dva prvky $b, c \in G$ také, že $ab = ac = e = ca = ba$. Z pravého zákona o krátení, ktorý platí v každej grupe, potom vyplýva $ab = ac \Rightarrow b = c$ (stačí prenásobiť inverzným prvkom k a).
Vieme teda, že ku každému prvku v grupe $G$ okrem neutrálneho prvku $e$ (ku ktorému nie je definovaný) existuje práve jeden inverzný prvok. Ďalej sa budeme venovať množine $\{a_1, a_2, ..., a_{n-1}\}$. Predpokladajme, že v tejto množine neexistuje žiaden taký prvok $x$, že $x = x ^{-1}$, teda nech každý prvok má taký inverzný, ktorý sa mu nerovná. Pretože inverzné prvky sú jedinečné, vieme potom množinu $\{a_1, a_2, ..., a_{n-1}\}$ rozdeliť na systém dvojprvkových množín prvok + inverzný prvok. To je ale v spore s tým, že táto množina má nepárny počet prvkov, takže predpoklad bol nesprávny a aspoň pre jeden prvok $x$ z množiny $G-{e}$ platí $x = x ^{-1} \quad \square$.

Inverzný prvok musí v grupe podľa definície existovať pre KAŽDÝ, t.j. aj pre neutrálny prvok. Pre neutrálny prvok samozrejme platí, že $e^{-1}=e$.
Z vášho postupu ešte to rozdelenie na dvojice celkom nevyplýva (skrytým spôsobom áno, ale radšej by som to tam chcel vidieť explicitne). Na prvý pohľad by mohli dvojice typu $\{x, x^{-1}\}$ a $\{x^{-1}, (x^{-1})^{-1}\}$ spôsobiť problém. Prečo ho nespôsobia?
Inak tento dôkaz už niekto robil v prvom semestri.

Máte pravdu, našla som ho ako príklad 3.2.15., ale aj tam to vyzerá, že to zostalo nedoriešené a bez bodu.

Prikladám svoje (nebodované) riešenie z minulého semestra, doplnené časťou, ktorá mu chýbala:

Platí $e \circ e = e$ čiže $e$ je sám sebe inverzný. Pre grupu platí, že pre $ \forall x \in G \exists !x^{−1}:x \circ x^{−1}=e $ (vyplýva to z toho tvrdenia na prednáške, že ak má prvok 2 ľavé inverzné tak nemá pravý a naopak - ak má 2 pravé tak nemá ľavý) Dokopy prvkov v tejto grupe, (keď počet jej prvkov je $2k$) rôznych od $e$ je $2k-1$ . Teda vieme vytvoriť dvojice typu prvok a k nemu inverzný. Týchto dvojíc bude najviac $k-1$ ak platí $\forall a \neq a^{-1}$ .
Teda prvkov v nich bude najviac $2k-2$. Dokopy však je v množine prvkov grupy iných ako e o jeden prvok viac, čiže ak tento patrí do grupy musí mať inverzný a keďže e nemôže byť jeho inverzný lebo $ e \circ a \neq a $ ak $ a \neq e $ tak musí byť inverzný samému sebe, teda $a \circ a = e$
Ešte doplnenie, prečo môžeme tvrdiť, že vzniknú dvojice. Je to preto, lebo ak by bol inverzný k $ a $ prvok $a^{-1}$ aj $ b $ tak potom $ e = a \circ a^{-1} = a \circ b = e$ a podľa zákonov o krátení v grupe platí $a^{-1} = b$ (rovnako pre druhú stranu) - teda skutočne má zmysel hovoriť o dvojiciach.

Obojstranný inverzný prvok je pre asociatívnu operáciu vždy určený jednoznačne, aj keby to nebola grupa, ale to (celkom) neodpovedá na moju otázku. Aký má to doplnenie význam pri dvojiciach typu dvojice typu $\{x,x^{−1}\}$ a $\{x^{−1},(x^{−1})^{−1}\}$?

V podstate by som na to zas použil zákony o krátení, ak by som mal dvojice $\{x,x^{-1}\}$ a $\{(x^{-1})^{-1},x^{-1}\}$ tak potom $e= (x^{-1})^{-1} \circ x^{-1}$ $ = x \circ x^{-1} = e \implies x =(x^{-1})^{-1} $ Teda by to bola tá istá dvojica - nemohla by vzniknúť napr. trojica z dvoch rôznych dvojíc, ktoré by mali jeden prvok spoločný, ako v tomto prípade prvok $x^{-1}$