msleziak.com

Nech $H$ je podgrupa grupy $G$. Nech $g \in G$. Ukážte, že $gHg^{-1} = \{ gHg^{-1}; h \in H \}$ je podgrupa grupy $G$.

Zrejme $gHg^{-1} \neq \emptyset$, pretože pre $h = e \quad ghg^{-1} = geg^{-1} =$ (asociatívnosť) $= gg^{-1} = e \in G$. Zároveň $gHg^{-1} \subseteq G$, pretože $g, h, g^{-1} \in G$ a $.$ je binárna operácia na $G$, teda aj $ghg^{-1} \in G$. Zostáva teda overiť zvyšné dve podmienky podgrupy.

Nech $A, B \in gHg^{-1}$, potom pre nejaké $a \in H$ a teda aj $\in G$ platí $A = gag^{-1}$ a pre nejaké $b \in H$ a teda aj $\in G$ platí $B = gbg^{-1}$. Potom $A \ast B = (gag^{-1}) \ast (gbg^{-1})$, z čoho vďaka asociatívnosti dostávame $A \ast B = ga(g^{-1} \ast g)bg^{-1} =$ (inverzný a neutrálny prvok v grupe) $= g(a \ast b)g^{-1}$, kde $a, b \in G$ a $\ast$ je binárna operácia na $G$, teda aj $a \ast b \in G$ a $A \ast B \in G$.
Teraz nech $A \in gHg^{-1}$, potom pre nejaké $a \in H: \quad A = gag^{-1}$. Vzhľadom na operáciu $\ast$ potom pre inverzný prvok k $A$ platí $A^{-1} = (gag^{-1})^{-1} =$ (asociatívnosť) $= ((ga)(g^{-1}))^{-1} =$ (veta platná pre všetky grupy) $= (g^{-1})^{-1} \ast (ga)^{-1} =$ (tá istá veta o súčine inverzných prvkov v grupe) $= (g^{-1})^{-1} \ast (a)^{-1} \ast (g)^{-1}$, z čoho na záver dostávame podľa známej vety o inverznom prvku k inverznému prvku $= g \ast a^{-1} \ast g^{-1}$. Keďže $a^{-1} \in H$, tak aj $A^{-1} \in gHg^{-1}$.
Množina $gHg^{-1}$ je teda podgrupou grupy $G$.
$\square$

V prvej časti dôkazu (že $A*B\in gHg^{-1}$) sa nejako pletú $G$ a $H$ (nemáte dokázať, že $A*B\in G$, to je triviálne, ale že $A*B\in gHg^{-1}$), skúste to dať do poriadku.

V prvej časti dôkazu chceme ukázať, že $A \ast B \in gHg^{-1}$. Predpokladáme, že dva prvky $A, B$ patria do $gHg^{-1}$, teda sa dajú zapísať ako $A = gag^{-1}, B = gbg^{-1}$ pre $a, b \in H$. Pre $A \ast B$ potom platí:

$A \ast B = (gag^{-1}) \ast (gbg^{-1})$ - asociatívnosť
$A \ast B = ga(g^{-1} \ast g)bg^{-1}$ - definícia inverzného a neutrálneho prvku v grupe H
$A \ast B = gabg^{-1}$ - asociatívnosť
$A \ast B = g(ab)g^{-1}$

Keďže $a, b \in H$ a $H$ je podgrupa, vyplýva z toho aj $a \ast b \in H$. Preto $A \ast B \in \{ ghg^{-1}; h \in H\}$ a teda $A \ast B \in gHg^{-1}$.

Zvyšok dôkazu by mal byť v poriadku.

OK, teraz je to v poriadku (naozaj bolo len na zlom mieste napisane $G$ namiesto $H$). 1 bod.

Ešte jeden námet (možno je to v nejakom inom cvičení): keby sme trochu preskúmali zobrazenia $\varphi_g: G\to G$ dané predpisom $\varphi_g(a)=g*a*g^{-1}$ pre $a\in G$. (Teda sme pre každé $g\in G$ definovali jedno zobrazenie, pre rôzne $g_1,g_2\in G$ zobrazenia $\varphi_{g_1}$ a $\varphi_{g_2}$ môžu, ale nemusia byť rovnaké - napríklad v komutatívnej grupe sú všetky vlastne identita).
Keby sme dokázali, že pre každé $g\in G$ je $\varphi_g$ homomorfizmus, potom je $gHg^{-1}$ obraz podgrupy $H$ v homomorfizme a podľa známej vety je to teda podgrupa. Keď už budete dokazovať, že $\varphi_g$ je homomorfizmus, dokáže rovno, že je to izomorfizmus (napríklad tak, že dokážete, že má aj ľavé aj pravé inverzné zobrazenie). Tieto zobrazenia $\varphi_g$ sa nazývajú vnútorné automorfizmy grupy $G$.

jaroslav.gurican wrote: Ešte jeden námet (možno je to v nejakom inom cvičení): keby sme trochu preskúmali zobrazenia $\varphi_g: G\to G$ dané predpisom $\varphi_g(a)=g*a*g^{-1}$ pre $a\in G$.

Vnútorné automorfizmy sa spomínajú v úlohe 2.6.1, kde je úlohou o nich nejaké veci podokazovať. Ale je pravda, že už skôr je veľa úloh, kde sa dajú využiť. (V úlohe 2.4.8 je napríklad hint, ktorý by mohol človeka naviesť k takémuto izomorfizmu.)