Tranzitívnosť inklúzie a kvantifikátory

[Martin Sleziak]

Na prvom cviku sme sa snažili dokázať, že
$$A\subseteq B \land B\subseteq C \Rightarrow A\subseteq C.$$

To znamená, že by sme mali dokázať
$[(\forall x) (x\in A\Rightarrow x\in B) \land (\forall x) (x\in B\Rightarrow x\in C)] \Rightarrow (\forall x) (x\in A\Rightarrow x\in C).$
V skutočnosti sme však na cvičeniach dokázali iba
$(\forall x) [(x\in A\Rightarrow x\in B) \land (x\in B\Rightarrow x\in C) \Rightarrow (x\in A\Rightarrow x\in C)].$

Ako nepovinná domáca úloha zostalo zamyslieť sa nad tým, aký je vzťah medzi týmito výrokmi.

Možno vám pri tom môže pomôcť, keď si uvedomíte, že platia nasledovné veci:
$$[(\forall x)(P(x)\Rightarrow Q(x))] \Rightarrow [(\forall x)P(x) \Rightarrow (\forall x)Q(x)]$$
$$[(\forall x)P(x) \land (\forall x) Q(x)] \Leftrightarrow [(\forall x)P(x)\land Q(x)]$$