Ak existuje, nájdite aspoň jedno vyjadrenie bodu $P$ v~tvare barycentrickej kombinácie bodov $A_0,\dots,A_3$. Overte aj to, či $A_0,\dots,A_3$ tvorí barycentrický súradnicový systém.
$A_0=(1,3,-2)$;
$A_1=(2,-1,-3)$;
$A_2=(3,-2,-3)$;
$A_3=(3,-3,-3)$;
$P=(2,4,-1)$.
Skupina B
Ak existuje, nájdite aspoň jedno vyjadrenie bodu $P$ v~tvare barycentrickej kombinácie bodov $A_0,\dots,A_3$. Overte aj to, či $A_0,\dots,A_3$ tvorí barycentrický súradnicový systém.
$A_0=(0,5,-2)$;
$A_1=(1,2,-3)$;
$A_2=(2,1,-3)$;
$A_3=(2,0,-3)$;
$P=(2,4,-2)$.
Našli sme koeficienty barycentrickej kombinácie $x_0=2$, $x_1=-3$, $x_2=x_3=1$. To znamená, že $$P=2A_0-3A_1+A_2+A_3.$$
Môžeme skontrolovať, že skutočne platí $2(1,3,-2)-3(2,-1,-3)+(3,-2,-3)+(3,-3,-3)=(2,4,-1)$ a $2-3+1+1=1$.
Ak si nevšímame pravé strany, tak ten istý výpočet nám dáva, že matica sústavy je regulárna. Potom pre ľubovoľne zvolené pravé strany existuje práve jedno riešenie. T.j. pre každý bod existuje práve jedno vyjadrenie v~tvare barycentrickej kombinácie bodov $A_0,\dots,A_3$. To znamená, že tieto body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu.
Pre prípad, že zdôvodnenie, prečo ide o b.s.s. nie je jasné, skúsim ešte vysvetliť detailnejšie:
Spoiler:
Z prednášky poznáte dve ekvivalentné definície barycentrickej súradnicovej sústavy. Jedna z nich je, že $(A_0,\dots,A_3)$ tvoria barycentrický súradnicový systém vtedy, ak $(A_0; \overrightarrow{A_0A_1},\dots,\overrightarrow{A_0A_3})$ tvoria afinný súradnicový systém. Ekvivalentná podmienka je, že každý bod z afinného priestoru, v ktorom pracujeme, sa dá vyjadriť práve jedným spôsobom v tvare barycentrickej kombinácie bodov $A_0,\dots,A_3$.
V našom prípade vidíme, že uvedená sústava má práve jedno riešenie pre ľubovoľne zvolené pravé strany. To znamená, že každý bod sa dá jednoznačne vyjadriť ako barycentrická kombinácia zadaných bodov.
Niektorí z vás ste sa snažili vyjadriť $\overrightarrow{A_0P}$ v afinnom súradnicovom systéme $(A_0; \overrightarrow{A_0A_1}, \dots, \overrightarrow{A_0A_3})$. To je úplne správny postup, len potom ešte z toho treba dostať vyjadrenie v tvare barycentrickej kombinácie. (To si vyžaduje vedieť aj to, ako je vlastne barycentrická kombinácia definovaná.) Tento krok robil problémy. (Alebo ste si možno niektorí neuvedomili, že ešte treba pokračovať ďalej.)
Skúsme si ukázať takýto postup na zadaní zo skupiny B.
V tomto prípade dostaneme:
$\overrightarrow{A_0A_1}=(1,-3,-1)$
$\overrightarrow{A_0A_2}=(2,-4,-1)$
$\overrightarrow{A_0A_3}=(2,-5,-1)$
$\overrightarrow{A_0P}=(2,-1,0)$
Zistili sme, že
$\overrightarrow{A_0P}=-2\overrightarrow{A_0A_1}+3\overrightarrow{A_0A_2}-1\overrightarrow{A_0A_3}$.
Keď chceme dostať barycentrickú kombináciu, potrebujeme, aby súčet koeficientov bol nula. Pridáme tam teda ešte vektor $\overrightarrow{A_0A_0}=\vec0$ s takým koeficientom, aby v súčte vyšla jednotka.
Dostávame
$\overrightarrow{A_0P}=\overrightarrow{A_0A_0}-2\overrightarrow{A_0A_1}+3\overrightarrow{A_0A_2}-1\overrightarrow{A_0A_3}$
$$P=A_0-2A_1+3A_2-A_3$$
Opäť, pre prípad, že to je nejasné, pridám detailnejšie vysvetlenie:
Spoiler:
Pripomeňme, ako je definovaná barycentrická kombinácie. $P=x_0A_0+x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3$ je definované iba pre $x_0+\dots+x_3=1$ a to tak, že si vezmeme ľubovoľný bod $O$ a uvedená rovnosť platí (definitoricky) práve vtedy, keď
$\overrightarrow{OP}=x_0\overrightarrow{OA_0}+x_1\overrightarrow{OA_1}+x_2\overrightarrow{OA_2}+x_3\overrightarrow{OA_3}$
Navyše vieme, že výsledok nezávisí od voľby bodu $O$. (Práve tu je dôležitá podmienka, že súčet koeficientov je jedna.)
My sme si zvolili $O=A_0$.
Súčasne si môžeme všimnúť, že ten istý výpočet (ak si nevšímame pravé strany, resp. ak sa pozrieme na zodpovedajúci homogénny systém), nám hovorí, že vektory $\overrightarrow{A_0A_1}$, $\overrightarrow{A_0A_2}$, $\overrightarrow{A_0A_3}$ sú lineárne nezávislé. To znamená, že $(A;\overrightarrow{A_0A_1}, \overrightarrow{A_0A_2}, \overrightarrow{A_0A_3})$ je afinný súradnicový systém a $(A_0,A_1,A_2,A_3)$ je barycentrický súradnicový systém.
Veľa z vás si správne zostavilo tri rovnice, ktoré ste dostali z podmienok $P=x_0A_0+x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3$. Ignorovali ste však podmienku $x_0+x_1+x_2+x_3=1$, ktorá je tiež v definícii barycentrickej kombinácie.
(Takto, ak ste sa nepomýlili, by ste mali dostať aj nejaké riešenia navyše. Medzi nimi aj správne riešenia ale aj veľa riešení, na ktoré sa vás v zadaní nepýtame. Vyjadrenie, kde súčet koeficientov nie je $1$, nie je barycentrická kombinácia. Navyše rovnica $x_0+x_1+x_2+x_3=1$ je veľmi jednoduchá, ak ju máte v sústave, tak výrazne zjednoduší úpravy.)
Viacerí z vás písali rovnosti ako napríklad
$P=a\overrightarrow{PA_0}+b\overrightarrow{PA_1}+\dots+e\overrightarrow{PA_3}$
$\overrightarrow{A_0P}=x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3$
a z nich ste sa snažili niečo ďalej odvodiť.
Hoci v tomto afinnom priestore sú body aj vektory trojice, čiže formálne ich môžeme porovnávať; rovnosť, kde na jednej strane mám vektor a na druhej bod zrejme nebude veľmi zmysluplná.
Často ste nenapísali nič k otázke, či ide o barycentrický súradnicový systém. Veľa bodov som za to nestrhával. (Úplne ok som bral, keď ste napísali, že je to barycentrický súradnicový systém a nepísali tam žiadne detailné zdôvodnenie. Je mi jasné, že na písomke nie je priveľa času rozpisovať detailné vysvetlenia.)
Viacerí ste napísali vyjadrenie $P$ ako súčtu $A_0$ a vhodných násobkov $\overrightarrow{A_0A_1}$, $\overrightarrow{A_0A_2}$, $\overrightarrow{A_0A_3}$. (Napríklad v skupine B ako $P=A_0-2\overrightarrow{A_0A_1}+3\overrightarrow{A_0A_2}-1\overrightarrow{A_0A_3}$.)
To však ešte nie je konečný výsledok - keďže som sa pýtal na vyjadrenie $P$ ako barycentrickej kombinácie bodo $A_0,\dots,A_3$.
Z jednej z písomiek:
Overíme, či bod $A_0$ patrí do afinného podpriestoru generovaného danými vektormi.
Takéto niečo nedáva zmysel. Vektormi môže byť generovaný vektorový podpriestor. Afinný podpriestor môže byť určený jedným bodom a niekoľkými vektormi (ktoré určujú jeho vektorovú zložku).
Úloha presne takéhoto typu sa objavila na opravnej písomke.
Ak existuje, nájdite aspoň jedno vyjadrenie bodu $P$ v~tvare barycentrickej kombinácie bodov $A_0,\dots,A_3$. Overte aj to, či $A_0,\dots,A_3$ tvorí barycentrický súradnicový systém.
$A_0=(4,-1,2)$;
$A_1=(2,3,-3)$;
$A_2=(3,-1,4)$;
$A_3=(1,2,1)$;
$P=(2,2,-1)$.
Nebudem sem písať riešenie - postup je ten istý, ako ste videli v predošlej úlohe.
Správny výsledok je $P=A_0-A_2+A_3$.
Body $A_0,A_1,A_2,A_3$ tvoria barycentrický súradnicový systém.
Chyby, ktoré sa vyskytli v odovzdaných riešeniach
Niektorí ste sa jednoducho pozreli na vektory $A_0,\dots,A_3$, overili, že sú lineárne závislé a potom napísali, že z toho vyplýva, že tieto body netvoria barycentrický súradnicový systém.
Toto nie je správny postup na overenie, či je to b.s.s. (Pozrite si definíciu barycentrického súradnicového systému.)
Navyše 4 vektory z $\mathbb R^3$ musia byť lineárne závislé. (Takže ak by to fungovalo takýmto spôsobom, b.s.s. v $\mathbb R^3$ by nemohol pozostávať zo štyroch bodov.)
Problémy s riešením sústav
Prekvapivo sa veľmi často objavovali chyby nielen pri riešení sústav. Nielen numerické, ale aj chyby ukazujúce, že stále neviete správne vyčítať riešenia z redukovanej trojuholníkovej matice alebo nerozumiete tomu, čo vám matica, ktorú ste dostali, hovorí.
V jednej písomke sa vyskytla situácia, že ste riešili sústavu a dostali ste tam riadok tvaru
$\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 2 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$
Na tomto mieste ste prehlásili, že sústava nemá riešenie.
V skutočnosti tento riadok zodpovedá rovnici $2x_2=0$, čiže ste zatiaľ vyrátali, že pre každé riešenie sústavy musí platiť $x_2=0$.
To, že sústava nemá riešenie, by ste dostali ak by vyšiel riadok obsahujúci nuly ako koeficienty, ktorý by mal nenulovú pravú stranu. Napríklad:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)$
Viacerí ste po úprave matice sústavy na trojuholníkový tvar už prehlásili, že máte riešenie. Napríklad ak ste dostali
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 &-2 &-2 & 0\\
0 & 0 & 1 &-2 &-3\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)$
tak ste za riešenie označili štvoricu $(1,0,-3,1)$.
Pritom stačí tieto hodnoty dosadiť do sústavy reprezentovanej touto maticou a hneď vidíte, že nie je riešením.
(Riešenie môžete dostať tak, že pokračujete v riadkových operáciách až kým vľavo nedostanete jednotkovú maticu. Resp. vo všeobecnosti RTM. Alebo môžete vyjadriť z poslednej rovnice $x_4=1$, dosadiť do predošlej a vyjadriť $x_3$ atď.)