msleziak.com

Zadanie z dnešnej náhradnej písomky:

Ak existuje, nájdite aspoň jedno afinné zobrazenie $f\colon{\mathbb R^3}\to{\mathbb R^2}$ také, že $f(A_i)=B_i$ pre\\
$A_0=(1,1,-1)$, $B_0=(3,2)$;
$A_1=(0,1,-2)$, $B_1=(2,3)$;
$A_2=(1,1,0)$, $B_2=(3,1)$;
$A_3=(0,-1,2)$, $B_3=(0,1)$.
(Pod "nájdite" sa rozumie "napíšte predpis" takéhoto zobrazenia.)

Vieme, že pre afinnú a vektorovú zložku afinného zobrazenia má platiť
$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\varphi(\vekt{XY})=\vekt{f(X)f(Y)}$.
Teda vektorová zložka musí vektor $\vekt{A_0A_i}$ zobraziť na $\vekt{B_0B_i}$. Začneme teda tým, že nájdeme lineárne zobrazenie spĺňajúce tieto podmienky.

$\left(\begin{array}{ccc|cc}
-1 & 0 &-1 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1 \\
-1 &-2 & 3 &-3 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
-1 & 0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1 \\
-1 &-2 & 0 &-3 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &-2 & 0 &-2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-1
\end{array}\right)$

Zistili sme, že takéto lineárne zobrazenie je lineárne zobrazenie s maticou $A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 &-1 \\
0 &-1
\end{pmatrix}
$.

Hľadané afinné zobrazenie je potom určené ako $f(X)=B_0+\varphi(\vekt{A_0X})$.

$$f(x,y,z)=(3,2)+(x-1,y-1,z+1)A=(3,2)+(x-1+(y-1),-(y-1)-(z+1))=(1+x+y,2-y-z).$$

Časté chyby

Všetci, čo ste túto úlohu riešili ste si napísali, že
$
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 1 &-1 & 3 & 2 \\
0 & 1 &-2 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 &-1 & 2 & 0 & 1
\end{array}\right)
$
a potom postupovali riadkovými úpravami. T.j. postupovali ste ako pri hľadaní lineárneho zobrazenia, ktoré spĺňa $f(A_i)=B_i$.
Ak by takéto zobrazenie existovalo, tak je súčasne aj afinné zobrazenie. (Afinné zobrazenie z~$\mathbb R^3$ do $\mathbb R^2$ bude lineárne zobrazenie ak $f(0,0,0)=(0,0)$.)
Ak ste správne postupovali ďalej, tak ste zistili, že takéto lineárne zobrazenie neexistuje. (Muselo by zobraziť nulu na nenulový vektor.)
Ako ste však videli v riešení, ktoré som uviedol vyššie, afinné zobrazenie s takýmito vlastnosťami stále môže existovať.

Dával som za takéto riešenie 1 bod. (Nie je to správne riešenie, ale zrátali ste aspoň niečo trochu súvisiace s tým, na čo som sa pýtal. A tiež som ochotný uznať, že som v zadaní mohol radšej napísať $(f,\varphi)$; tým by som zdôraznil, že afinné zobrazenie má aj vektorovú zložku, možno by bola väčšia šanca, že si spomeniete na definíciu afinného zobrazenia.)

Pozrime sa ešte na inú možnosť ako riešiť takýto typ úlohy.
Vieme, že afinné zobrazenia zachovávajú barycentrické kombinácie. Ak by sme teda nejaký bod mali vyjadrený ako barycentrickú kombináciu bodov $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, tak jeho obraz je barycentrická kombinácia bodov $B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ s rovnakýcmi koefientami.

Pozrime sa najprv na to, že ak máme daný bod $P=(x,y,z)$, či vieme nájsť koeficienty pomocou ktorých sa dá vyjadriť ako barycentrická kombinácia bodov $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$
$\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
1 & 1 & 1 &-1 & y \\
-1 &-2 & 0 & 2 & z
\end{array}
\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 &-2 &-1+y \\
-1 &-2 & 0 & 2 & z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
-1 &-2 & 0 & 2 & z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & \frac12+\frac12y \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
-1 &-2 & 0 & 0 & -1+y+z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12-x+\frac12y \\
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
-1 &-2 & 0 & 0 & -1+y+z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12-x+\frac12y \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
0 &-2 & 1 & 0 & -1+x+y+z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & x \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12-x+\frac12y \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y \\
0 & 0 & 1 & 0 & -x+2y+z
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 2x-2y-z \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac12-x+\frac12y \\
0 & 0 & 1 & 0 & -x+2y+z \\
0 & 0 & 0 & 1 & \frac12-\frac12y
\end{array}\right)$

Pre obraz bodu $(x,y,z)$ potom dostaneme
\begin{align*}
f(x,y,z)&=(2x-2y-z)(3,2)+(\frac12-x+\frac12y)(2,3)+(-x+2y+z)(3,1)+(\frac12-\frac12y)(0,1)\\
&=(1+x+y,2-y-z)
\end{align*}