1. písomka - barycentrická úloha

[Martin Sleziak]

Skupina A

Nájsť prienik roviny $\overline{ABC}$ a priamky $\overline{DE}$ ako barycentrickú kombináciu bodov $A$, $B$, $C$ aj ako barycentrickú kombináciu bodov $D$, $E$:
$A\equiv(1,1,1,1)$,
$B\equiv(1,2,2,2)$,
$C\equiv(2,1,1,2)$,
$D\equiv(3,5,5,-1)$,
$E\equiv(2,4,4,-1)$.

Skupina B mala to isté zadanie, len poradie v akom tam boli zadané body A, B, C resp. D, E bolo prehodené.

[Martin Sleziak]

Toto si zaslúži komentár ešte predtým, než sa dostanem k riešeniu úloh, lebo veľa ľudí, ktorí túto úlohu zrátali (úplne alebo aspoň sčasti) postupovalo tak, že najprv ste si nejako vyjadrili rovinu a priamku (parametricky alebo analyticky), pomocou týchto vyjadrení ste našli prienik (vyšiel jeden bod). A až potom ste sa pustili do toho, aby ste hľadali vyjadrenie tohoto bodu v tvare barycentrických kombinácií.

Takýto postup je úplne správny, ale zbytočne ste si skomplikovali situáciu - vôbec nebolo potrebné hľadať vyjadrenie roviny ABC a priamky DE. Ako hneď uvidíme, celá úloha je vlastne iba jednoduchá sústava rovníc.

Riešenie

Stačí si uvedomiť, že:

• Body v rovine ABC sú presne tie body, ktoré viem dostať ako barycentrické kombinácie A, B, C.
• Body na priamke DE sú presne tie body, ktoré viem dostať ako barycentrické kombinácie D, E.

Hľadám teda také body, ktoré sa dajú vyjadriť ako barycentrická kombinácia bodov A, B, C a súčasne ako barycentrická kombinácia bodov D, E.
Takto dostaneme podmienky $x_1+x_2+x_3=1$, $y_1+y_2=1$, $x_1A+x_2B+x_3C=y_1D+y_2E$.
Toto je vlastne sústava rovníc, ak nájdem jej riešenie, tak $x_1$, $x_2$, $x_3$ a $y_1$, $y_2$ sú hľadané koeficienty barycentrických kombinácií.

Riešenie sústavy:
$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 &-3 &-2 & 0 \\
1 & 2 & 1 &-5 &-4 & 0 \\
1 & 2 & 1 &-5 &-4 & 0 \\
1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-3 &-2 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-5 &-4 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-5 &-4 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 &-3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 &-3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

Zistili sme, že bod v prieniku je bod $3A-2C=-3D+4E$.
Môžeme sa presvedčiť, že obidve tieto barycentrické kombinácie dávajú bod $(-1,1,1,-1)$.

[Martin Sleziak]

Bodovanie

Pretože veľa ľudí rátalo prienik inak (nie cez barycentrické súradnice), dal som za správne zrátaný prienik 2,5 bodu. (Za nesprávne zrátaný prienik, ale aspoň sčasti správny postup - napríklad s nejakými numerickými chybami - som dal nejakú časť.)
Zvyšných 2,5 bodu bolo za vyjadrenia v tvare barycentrických kombinácií.

Časté chyby

* Už som spomínal, že veľa z vás rátalo veci "navyše", ktoré nebolo treba. Ale to v podstate nie je chyba - ak ste sa nepomýlili, tak ste sa dostali k správnym výsledkom. Nevýhoda je, že ste sa k tomuto výsledku dostali dosť prácnym postupom.
* Veľa ľudí vyrátalo prienik, ale už ho nevyjadrili ako barycentrické kombinácie.
* Viacerí ste sa po zrátaní bodu, ktorý je prienikom, ho snažili vyjadriť ako barycentrickú kombináciu 5 bodov A, B, C, D, E. (Ak ste sa pri tomto nepomýlili, tak by ste tu mali dostať veľa riešení.) Úlohou však bolo vyjadriť ho ako kombináciu bodov A, B, C a vyjadriť ho ako kombináciu bodov D, E.
* Pri výpočte prieniku sa v jednej písomke vyskytla takáto chyba: Našli ste parametrické vyjadrenie pre jeden aj druhý podpriestor, parametre ste označili v prvom prípade $s$, $t$ v druhom prípade $s$. Potom ste tieto parametrické vyjadrenia dali do rovnosti a vyšlo vám, že sústava nemá riešenie a prienik je prázdny. Prienik skutočnosti existuje, ale hodnota $s$ z prvého vyjadrenia je iná ako hodnota $s$ z druhého vyjadrenia. Pri zápise vyjadrení podpriestorov to nevadí, ale pri výpočte prieniku ste si ich mali označiť rôznymi písmenami - sú to totiž rôzne premenné.