V oboch skupinách bolo ste mali zadané dva body $A=(a_1,a_2,a_3,a_4)$, $B=(b_1,b_2,b_3,b_4)$ a úlohou bolo nájsť body také, že $|AX|=|BX|$.
Skupina A
Sú zadané body $A$ a $B$. Tvoria body s vlastnosťou $|AX|=|BX|$ (kde $|PQ|$ znamená vzdialenosť bodov $P$ a $Q$) afinný podpriestor $\mathbb R^4$? Ak áno, aký je to podpriestor, akú má dimenziu? Nájdite jeho všeobecné a parametrické vyjadrenie.
$A=(0,1,1,3)$, $B=(2,1,0,1)$
Skupina B
Sú zadané body $A$ a $B$. Tvoria body s vlastnosťou $|AX|=|BX|$ (kde $|PQ|$ znamená vzdialenosť bodov $P$ a $Q$) afinný podpriestor $\mathbb R^4$? Ak áno, aký je to podpriestor, akú má dimenziu? Nájdite jeho všeobecné a parametrické vyjadrenie.
$A=(1,3,0,3)$, $B=(3,1,0,1)$
Skúsme sa najprv zamyslieť nad tým, či si vieme situáciu predstaviť resp. nakresliť si obrázok. Toto asi zvládneme skôr v $\mathbb R^2$ či $\mathbb R^3$.
V $\mathbb R^2$ (v rovine) sú body určené podmienkou $|AX|=|BX|$ presne body na osi úsečky $AB$. Teda hľadaná množina bodov je priamka prechádzajúca cez stred tejto úsečky, ktorá je na ňu kolmá.
Keď si predstavíme situáciu v 3-rozmernom priestor $\mathbb R^3$, tak vcelku ľahko vidieť, že je to rovina prechádzajúca cez stred úsečky $AB$ a kolmá na túto úsečku.
Dá sa už teraz tušiť, že všeobecne v $\mathbb R^n$ dostaneme nadrovinu, ktorá prechádza stredom úsečky $AB$ a jej normálový vektor je $\overrightarrow{AB}$.
Zatiaľ sme iba kreslili obrázky, poďme to skúsiť poriadnejšie zdôvodniť.
Rovnosť $|AX|=|BX|$ nám dá ekvivalentnú podmienku $|AX|^2=|BX|^2$, ktorú môžeme prepísať ako
$(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2+(x_3-a_3)^2+(x_4-a_4)^2=(x_1-b_1)^2+(x_2-b_2)^2+(x_3-b_3)^2+(x_4-b_4)^2$
$2(b_1-a_1)x_1+2(b_2-a_2)x_2+2(b_3-a_3)x_3+2(b_4-a_4)x_4=(b_1^2-a_1^2)+(b_2^2-a_2^2)+(b_3^2-a_3^2)+(b_4^2-a_4^2)$
Vidíme, že ide skutočne o nadrovinu s normálovým vektorom $\overrightarrow{AB}$. Ak vieme, že stred patrí do tejto nadroviny, tak ho tam môžeme dosadiť - takto vyrátame číslo na pravej strane asi jednoduchšie, ako z výrazu, ktorý nám tu vyšiel.
Iné zdôvodnenie: Označme $X'$ kolmý priemet body $X$ do priamky $AB$. Potom rovnosť $|AX|^2=|BX|^2$ nám dáva
$|AX'|^2+|XX'|^2=|BX'|^2+|XX'|^2$
$|AX'|^2=|BX'|^2$
$|AX'|=|BX'|$
Na priamke $AB$ je jediný bod vyhovujúci tejto podmienke stred úsečky $AB$. Hľadáme teda body, ktorých kolmý priemet je presne $X'=\frac{A+B}2$.
Opäť dostávame presne nadrovinu kolmú na $\overrightarrow{AB}$.
Teda vlastne teraz je to už iba úloha nájsť nadrovinu ak poznáme jeden jej bod (stred $S=\frac{A+B}2$) a jej normálový vektor $\overrightarrow{AB}$. To už je vcelku štandardná úloha, takže sem nebudem písať, ako to vychádza s konkrétnymi číslami.
Časté chyby
Dosť veľa z vás namiesto zadanej úlohy napísalo vyjadrenie (parametrické, prípadne aj analytické) priamky $AB$. Za takéto odpovede som dával 0 bodov - keďže to je riešenie úplne inej úlohy, než bola zadaná.
Ešte azda poznamenám, že ak ste už dostali že to je nadrovina, to mi úplne stačilo ako zdôvodnenie, že to je afinný podpriestor. (Z prednášky viete všeobecnejšie, že množina riešení ľubovoľného riešiteľného systému lineárnych rovníc tvorí afinný podpriestor. Inak povedané, ak je niečo zadané sústavou lineárnych rovníc a je to neprázdne, tak je to afinný podpriestor.)
Viacerí ste len napísali, že je to nadrovina obsahujúca streda a normálový vektor je určený zadanými bodmi.
Je fajn, že ste prišli na to, že hľadaná množina je nadrovina určená stredom a normálový vektor je $\overrightarrow{AB}$. (Napríklad tým, že ste sa pozerali na to ako je to v dimenzii 2 či 3.) Možno tam ale mohlo byť aspoň nejaké stručené zdôvodnenie, prečo je to práve táto nadrovina, resp. že táto nadrovina skutočne funguje.
Niektorí z vás ste parametrické vyjadrenie skúšali dostať tak, že ste si našli niekoľko bodov z nadroviny, z nich vytvorili vektory a tie použili na dosiahnutie parametrického vyjadrenia.
Myslím si, že štandardný postup ako zapisujeme množinu riešení sústavy, je o čosi jednoduchší. Ale aj toto v princípe funguje, treba si dať pozor na niektoré veci. (V niektorých riešeniach boli veci čo tu spomínam chybne.)
* Potrebujem dosť veľa lineárne nezávislých vektorov. T.j. ak mám zapísať podpriestor dimenzie 3, ako v tejto úlohe, tak potrebujem tri lineárne nezávislé vektory. Ak som ich vygeneroval pomerne náhodne, tak by som mal skontrolovať, či som ich zhodou okolností nevybral lineárne závislé.
* Ak mám dostať priestor dimenzie $n$, tak potrebujem $n+1$ bodov. (Viete, že barycentrický súradnicový systém v dimenzii $n$ je určený nejakými bodmi $A_0,A_1,\dots,A_n$.) Teda v našom prípade potrebujem aspoň štyri body, inak určite nedostanem celú nadrovinu.