Koeficienty charakteristického polynómu (stopa, determinant)
Posted: Tue Apr 16, 2019 12:30 pm
Charakteristický polynóm ste definovali ako
$$\chi_A(t)=\det(tI-A).$$
(V niektorých knihách ho nájdete definovaný ako $\det(A-tI)$.)
Poďme sa pozrieť na niektoré jeho vlastnosti, konkrétne na to, že stopa a determinant sa vyskytujú ako koeficienty.
Uvedomme si, že pre maticu $n\times n$ máme charakteristický polynóm vyjadrený ako determinant:
$$\chi_A(t)=
\begin{vmatrix}
t-a_{11} & -a_{12} & \dots & -a_{1n} \\
a_{21} & t-a_{22} & \dots & -a_{2n} \\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & -a_{n2} & \dots & t-a_{nn}
\end{vmatrix}$$
Determinant obsahuje súčiny, kde sme z každého riadku a každého stĺpca vybrali práve jeden prvok. Pričom každý zo súčinov má znamienko závisiace od počtu inverzií príslušnej permutácie.
Stopa a determinant
Pretože v každom riadku sa $t$ vyskytne v prvej mocnine, dostaneme polynóm stupňa najviac $n$. Máme teda nejaký polynóm tvaru
$\chi_A(t)=c_nt^n+c_{n-1}t^{n-1}+\dots+c_1t+c_0$.
Pozrime sa na to, či by sme vedeli povedať niečo aspoň o niektorých koeficientoch.
Ako jeden zo sčítancov v determinante dostaneme
$(t-a_{11})(t-a_{22})\dots(t-a_{nn})$,
ktorý po roznásobení obsahuje členy
$t^n-(a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn})t^{n-1}+\dots$
Tiež si všimnime, že toto sú jediné sčítance, v ktorých môžeme dostať $t^n$ alebo $t^{n-1}$.
(Na to, aby sme dostali $t^{n-1}$, musíme vybrať $n-1$ prvkov z diagonály. Potom aj zostávajúci posledný člen musí byť na diagonále.)
Teda pre koeficienty charakteristického polynómu máme
$c_n=1$
$c_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn})=-\operatorname{Tr}(A)$,
kde $\operatorname{Tr}(A)$ sme označili stopu matice $A$, t.j. súčet prvkov na diagonále matice.
Ďalší koeficient, ktorý vieme vypočítať je $c_0$.
Platí totiž $c_0=\chi_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det(A)$.
Špeciálne si môžeme všimnúť, že pre maticu $2\times2$ stopa a determinant už určujú celý charakteristický polynóm:
$\chi_A(t)=t^2-\operatorname{Tr}(A)t+\det(A)$.
Pre matice väčších rozmerov sú tam však aj ďalšie koeficienty, ktoré nevieme takto jednoducho vyjadriť.
Súčet a súčin vlastných hodnôt
Ak pracujeme nad poľom $\mathbb C$, tak každý polynóm sa dá rozložiť na koreňové činitele. V prípade charakteristického polynómu sú jeho korene vlastné čísla dané matice. Pre vlastné čísla teda máme:
$\chi_A(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\dots(t-\lambda_n)$
Aspoň pre niektoré koeficienty vidíme, čo dostaneme pri roznásobení, konkrétne:
$\chi_A(t)=t^n-(\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n)t^{n-1}+\dots+(-1)^n\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n$.
(Použili sme vlastne Vietove vzťahy, ktoré by ste mali poznať prinajmenšom pre polynómy stupňa 2.)
Vidíme teda, že
$\operatorname{Tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n$
$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n$
Teda stopa matice je súčet vlastných hodnôt a determinant je súčin vlastných hodnôt. (Ak ich rátame vrátane násobnosti s akou sa vyskytujú ako korene charakteristického polynómu.)
Ostatné koeficienty
Dá sa niečo povedať aj o ostatných koeficientoch tam je ale ich vyjadrenie pomocou prvkov matice $A$ o čosi komplikovanejšie: viewtopic.php?t=1689
Linky
Pridám aj nejaké linky:
$$\chi_A(t)=\det(tI-A).$$
(V niektorých knihách ho nájdete definovaný ako $\det(A-tI)$.)
Poďme sa pozrieť na niektoré jeho vlastnosti, konkrétne na to, že stopa a determinant sa vyskytujú ako koeficienty.
Uvedomme si, že pre maticu $n\times n$ máme charakteristický polynóm vyjadrený ako determinant:
$$\chi_A(t)=
\begin{vmatrix}
t-a_{11} & -a_{12} & \dots & -a_{1n} \\
a_{21} & t-a_{22} & \dots & -a_{2n} \\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & -a_{n2} & \dots & t-a_{nn}
\end{vmatrix}$$
Determinant obsahuje súčiny, kde sme z každého riadku a každého stĺpca vybrali práve jeden prvok. Pričom každý zo súčinov má znamienko závisiace od počtu inverzií príslušnej permutácie.
Stopa a determinant
Pretože v každom riadku sa $t$ vyskytne v prvej mocnine, dostaneme polynóm stupňa najviac $n$. Máme teda nejaký polynóm tvaru
$\chi_A(t)=c_nt^n+c_{n-1}t^{n-1}+\dots+c_1t+c_0$.
Pozrime sa na to, či by sme vedeli povedať niečo aspoň o niektorých koeficientoch.
Ako jeden zo sčítancov v determinante dostaneme
$(t-a_{11})(t-a_{22})\dots(t-a_{nn})$,
ktorý po roznásobení obsahuje členy
$t^n-(a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn})t^{n-1}+\dots$
Tiež si všimnime, že toto sú jediné sčítance, v ktorých môžeme dostať $t^n$ alebo $t^{n-1}$.
(Na to, aby sme dostali $t^{n-1}$, musíme vybrať $n-1$ prvkov z diagonály. Potom aj zostávajúci posledný člen musí byť na diagonále.)
Teda pre koeficienty charakteristického polynómu máme
$c_n=1$
$c_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn})=-\operatorname{Tr}(A)$,
kde $\operatorname{Tr}(A)$ sme označili stopu matice $A$, t.j. súčet prvkov na diagonále matice.
Ďalší koeficient, ktorý vieme vypočítať je $c_0$.
Platí totiž $c_0=\chi_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det(A)$.
Špeciálne si môžeme všimnúť, že pre maticu $2\times2$ stopa a determinant už určujú celý charakteristický polynóm:
$\chi_A(t)=t^2-\operatorname{Tr}(A)t+\det(A)$.
Pre matice väčších rozmerov sú tam však aj ďalšie koeficienty, ktoré nevieme takto jednoducho vyjadriť.
Súčet a súčin vlastných hodnôt
Ak pracujeme nad poľom $\mathbb C$, tak každý polynóm sa dá rozložiť na koreňové činitele. V prípade charakteristického polynómu sú jeho korene vlastné čísla dané matice. Pre vlastné čísla teda máme:
$\chi_A(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\dots(t-\lambda_n)$
Aspoň pre niektoré koeficienty vidíme, čo dostaneme pri roznásobení, konkrétne:
$\chi_A(t)=t^n-(\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n)t^{n-1}+\dots+(-1)^n\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n$.
(Použili sme vlastne Vietove vzťahy, ktoré by ste mali poznať prinajmenšom pre polynómy stupňa 2.)
Vidíme teda, že
$\operatorname{Tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n$
$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n$
Teda stopa matice je súčet vlastných hodnôt a determinant je súčin vlastných hodnôt. (Ak ich rátame vrátane násobnosti s akou sa vyskytujú ako korene charakteristického polynómu.)
Ostatné koeficienty
Dá sa niečo povedať aj o ostatných koeficientoch tam je ale ich vyjadrenie pomocou prvkov matice $A$ o čosi komplikovanejšie: viewtopic.php?t=1689
Linky
Pridám aj nejaké linky: