msleziak.com

3.2.3 Ak G je konečná grupa, H je podgrupa G a K je podgrupa H, tak potom [G:K]= [G:H][H:K]

Podľa Lagrangeovej vety, keďže $G$ je konečná a $H$ je jej podgrupa platí $|G|=|H|[G:H]$ rovnako, keďže $|H| \leq |G|$ tak aj $H$ je konečná a $K$ je jej podgrupa tak $|H|=|K|[H:K]$ tedaspojením týchto dvoch vecí dostávame $|G|=|K|[H:K][G:H]$. Zároveň, keďže $K$ je podgrupa $H$, ktorá je podgrupa $G$, tak obsahuje neutr. prvok z $H$, čo je neutr. prvok z $G$ a taktiež prvky z $H$ co je podmnožina $G$, teda $K$ obsahuje prvky z množiny $G$, teda $K$ musí byť podgrupou $G$. Taktiež musí byť konečná a teda môžeme opätovne použiť Lagrangovu vetu.
$|G|=|K|[G:K]$ Dostávame teda $|G|=|K|[G:K]=|K|[H:K][G:H]$ Môžeme vykrátiť $|K|$ a dostávame $[G:K]= [G:H][H:K]$

OK, 1 bod.
Ale dôkaz toho, že za uvedených predpokladov je $K$ podgrupa grupy $G$ nie je korektný.

Ospravedlňujem sa, nesprávne som to formuloval, myslel som tým, že, ak $K$ je podgrupa $H$ tak spĺňa podmienky podgrupy, a keďže $H$ je podgrupa $G$, tak $H$ obsahuje len prvky z $G$ a teda ak $K$ obsahuje len prvky z $H$ tak to implikuje, že $K$ obsahuje len prvky z $G$, teda musí byť podgrupou, inými slovami platí, $\forall a,b \in K : a * -b \in K$ a tiež $ K \subset H \subset G \implies K \subset G$ teda $K$ je podgrupa $H$