msleziak.com

Nech $(G,.)$ je grupa. Pre $a \in G$ označíme $C_G(a) = {\ x \in G: \quad xa = ax }\ $. Dokážte, že $C_G(a)$ je podgrupa grupy $G$. Čomu sa rovná $C_G(e)$? Čomu sa rovná $C_G(a)$, ak $G$ je komutatívna grupa?

Začneme odzadu. Ak $G$ je komutatívna grupa, tak $xa = ax$ platí zrejme pre každú dvojicu $a,x \in G$, teda $C_G(a) = G$.

Čomu sa rovná $C_G(e)$? Pre $\forall x \in G: \quad x \ast e = x$ a $e \ast x = x$, teda $x \in C_G(e)$, teda $C_G(e)=G$.

Teraz dokážeme, že $C_G(a)$ je podgrupa grupy $G$. Zrejme $C_G(a) \subset G$ a $C_G(a) \neq \emptyset$, pretože zrejme $a \in C_G(a)$. Zostáva ukázať:
(a) $\forall a,b \in C_G(a): \quad a \ast b \in C_G(a)$
(b) $\forall a \in C_G(a): \quad a^{-1} \in C_G(a)$

(a) Nech $x,y \in C_G(a)$, potom $xa=ax$, $ya=ay$. Ukážeme, že aj $x \ast y \in C_G(a)$.
$(x \ast y) \ast a$ = (asociatívnosť v grupe $G$) = $x \ast (y \ast a)$ = (využijeme $y \in C_G(a)$) = $x \ast (a \ast y)$ = asociatívnosť = $(x \ast a) \ast y$ = (využijeme $x \in C_G(a)$) = $(a \ast x) \ast y$ = (asociatívnosť) = $a \ast (x \ast y)$, preto $x \ast y \in C_G(a)$.

(b) Nech $x \in C_G(a)$, ukážeme, že aj $x^{-1} \in C_G(a)$.
$x^{-1} \ast a = a \ast x^{-1} \Leftrightarrow (x^{-1} \ast a) \ast (a \ast x^{-1})^{-1} = e$, stačí teda dokázať druhú rovnosť.
$(x^{-1} \ast a) \ast (a \ast x^{-1})^{-1} = (x^{-1} \ast a) \ast ((x^{-1})^{-1} \ast a^{-1})$ = (inverzné prvky v grupe) = $(x^{-1} \ast a) \ast (x \ast a^{-1})$ = (asociatívnosť v grupe) = $(x^{-1} \ast (a \ast x) \ast a^{-1})$ = (využijeme $x \in C_G(a)$) = $(x^{-1} \ast (x \ast a) \ast a^{-1})$ = (asociatívnosť) = $(x^{-1} \ast x) \ast (a \ast a^{-1})$ = (definícia inverzného prvku) = $e \ast e$ = (definícia neutrálneho prvku) = $e$, takže sme dokázali $a^{-1} \in C_G(a)$.

Preto $C_G(a)$ je podgrupa grupy $G \quad \square$.

OK, 1 bod. Pekne.