msleziak.com

a) Ukážte, že grupa ($\mathbb{Q},+$) nie je cyklická.

Sporom. Nech ($\mathbb{Q},+$) je cyklická grupa, potom $\exists a \in \mathbb{Q}$ také, že $\forall g \in \mathbb{Q} \quad \exists n \in \mathbb{Z}: \quad g = na$. Zrejme $a \neq 0$, pretože rovnica $3 = n.0$ nemá v $\mathbb{Z}$ riešenie. Ďalej zrejme $a \neq 1$, pretože rovnica $1/2 = n.1$ nemá v $\mathbb{Z}$ riešenie.
Teda $a \notin \{ 0, 1 \}$. Keďže $a \in \mathbb{Z}$, tak aj $a \in \mathbb{Q}$ a keďže $a \neq 0$, platí aj $1/a \in \mathbb{Q}$. Keďže $\mathbb{Q}$ je cyklická, musí existovať také $m \in \mathbb{Q}$, že $1/a = m.a$, teda $1/a^2 = m$, ale keďže $a \neq 1$, platí $1/a^2 \notin \mathbb{Z}$, teda $m \notin \mathbb{Z}$. To je spor s $m \in \mathbb{Z}$, teda ($\mathbb{Q},+$) nie je cyklická grupa.

b) Ukážte, že grupa ($\mathbb{R},+$) nie je cyklická.

Sporom. Nech ($\mathbb{R},+$) je cyklická grupa. Keďže ($\mathbb{Q},+$) je jej podgrupa, musí byť tiež cyklická, čo je spor s a). Preto ($\mathbb{R},+$) nie je cyklická grupa.

$\square$

OK, 1 bod.

Prečo v a) píšete $a\in Z$. Odkiaľ to vyplýva? A potrebujete to v dôkaze? Ak nie, preditujte pôvodný dôkaz. Argument ešte neprejde pre $a=-1$, vtedy je $1/a^2\in Z$.

b) Tu pekne využívate vetu, že podgrupa cyklickej grupy je cyklická. Dôkaz sa dá spraviť aj cez mohutnosti. Každá cyklická grupa je spočítateľná (dokazovali sme vetu, že ak $a\in G$ je generátor, tak $G=\{a^k; k\in Z\}$, teda $G$ je spočítateľná). $R$ nie je spočítateľná a preto $(R,+)$ nie je cyklická (a dokonca vôbec nezáleží na tom, ako je definovaná operácia $+$).