Štvrtá písomka - Jordanov tvar z $\chi_A$ a $m_A$

[Martin Sleziak]

Skupina C

Napíšte všetky možnosti pre Jordanov tvar matice $A$ ak o nej viete, že $A$ je matica $4\times 4$, jej charakteristický polynóm je $\chi_A(x)=(x-1)^2(x-2)^2$ a jej minimálny polynóm je $m_A(x)=(x-1)(x-2)^2$. Svoje tvrdenie aj stručne zdôvodnite.

Zadanie v skupine D bolo v podstate rovnaké, len sa vymenili úlohy čísel

Riešenie:
Ak charakteristický polynóm je $(x-1)^2(x-2)^2$, tak v Jordanovom tvare musí byť na diagonále dvakrát jednotka a dvakrát dvojka. Až na výmenu poradia Jordanových blokov sú teda možnosti iba
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$
Stručne to môžeme povedať aj tak, že máme
$\begin{pmatrix}
1 & * & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & * \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$
a zatiaľ nevieme, či na miestach označených hviezdičkami je 0 alebo 1.

(Ak ste sa dostali aspoň sem, dával som za to 2.5 bodu, t.j. bral som to ako polovicu riešenia.)

Ešte treba využiť nejako informáciu o minimálnom polynóme. Vieme, že podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm. Teda $m_J(x)=(x-1)(x-2)^2$.
Mali by sme vybrať takú maticu, pre ktorú $(J-I)(J-2I)^2$ je nulová matica. Súčasne $(J-I)(J-2I)\ne0$ (lebo polynómy nižšieho stupňa nevynulujú $J$).
Pozeráme sa teda na matice tvaru
$J-I=\begin{pmatrix}
0 & * & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & * \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ a
$J-2I=\begin{pmatrix}
-1 & * & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & * \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Môžeme sa pozrieť na to, ako sa správa Jordanov blok k $1$ a ako sa správa Jordanov blok k $2$.

Ak je Jordanov blok k $1$ tvaru $\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}$, tak v matici $J-I$ sa vyskytne na tom istom mieste $\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}$, čo spôsobí, že $(J-I)(J-2I)^2$ nebude nulová matica.
Musíme teda mať blok tvaru $\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}$.

Podobne ak by sme mali $\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{pmatrix}$, tak sa tento blok vynuluje už v $(J-2I)$ a $(J-I)(J-2I)$ by bola nulová matica. (T.j. mali by sme minimálny polynóm $(x-1)(x-2)$.)
Preto v našom prípade musí Jordanov blok k $2$ byť $\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 2 \\
\end{pmatrix}$

Dostávame Jordanov tvar
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$

(Toto nie je úplne podrobné zdôvodnenie - ale povedali sme si na cviku niečo o tom, ako to je s minimálnymi polynómami a Jordanovým tvarom, takže by ste mali vidieť, že sa skutočne stačí pozerať na jednotlivé bloky.)

Časté chyby

Ak charakteristický polynóm je $(x-1)^2(x-2)^2$, tak Jordanov tvar má na diagonále čísla $1$, $1$, $2$, $2$. Niektorí ste tvrdili, že to budú $-1$, $-1$, $-2$, $-2$.

V niektorých písomkách sa vyskytla tvrdenie, že jedna z možností pre Jordanov tvar je:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$.
Táto matica nie je v Jordanovom normálnom tvare. Napíšem ju ešte raz:
$\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\\hline
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{array}\right)$.
Teraz snáď vidno, že pravý horný blok nie je nulový. (A pripomeniem, že v Jordanovom normálnom tvare sa vyskytujú Jordanove bloky, ktoré majú na diagonále všade tú istú vlastnú hodnotu. T.j. môžem mať jeden alebo dva bloky k 1, jeden alebo dva bloky k 2, ale nemôžem mať takýto "zmiešaný" Jordanov blok, kde sa na diagonále vyskytujú nuly aj jednotky.)

[Martin Sleziak]

V niektorej písomke sa vyskytla takáto matica medzi možnosťami na Jordanov tvar:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$.
Táto matica nie je v Jordanovom normálnom tvare. Napíšem ju ešte raz tak, aby bolo jasnejšie kde sú bloky:
$\left(\begin{array}{cc|cc}
\boxed{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \boxed{2} & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{array}\right)$.
Konkrétne podmatica vpravo dole $\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 2 \\
\end{pmatrix}$ nie je Jordanov blok.

Jordanov blok vždy vytvárame k nejakej vlastnej hodnote $\lambda$. Teda na diagonále bude vždy to isté číslo $\lambda$.
T.j. Jordanov blok veľkosti $1,\dots,4$ k vlastnému číslu $\lambda$ vyzerá takto (vypísal som sem aj možnosti pre $\lambda=1$ a $\lambda=2$; hoci v tomto konkrétnom prípade vieme, že bloky sú veľkosti najviac dva, takže objaviť sa tu môžu iba tie z prvých dvoch stĺcpov):
$$\begin{array}{cccc}
\begin{pmatrix}
\lambda
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 \\
0 & \lambda
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
2
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\end{array}
$$