msleziak.com

$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$Nech body $O,A_0, \dots, A_n$ patria do afinného priestoru $(\mathcal B,V)$. Nech $c_0,\dots,c_n$ sú reálne čísla také, že $\sum\limits_{i=0}^n c_i=1$. Barycentrickú kombináciu bodov $A_0,\dots,A_n$ s koeficientami $c_0,\dots,c_n$ definujeme ako (jednoznačne určený) bod $X$ taký, že
$$\vekt{OX}=\sum_{i=0}^n c_i \vekt{OA_i}.$$

Dokážte, že bod $X$ určený uvedenou rovnosťou nezávisí od voľby bodu $O$.

Toto je štandardný dôkaz, ktorý poznáte z prednášky - ale aj tak sem skúsim niečo napísať.

Riešenie

Nech $P$ je ľubovoľný bod a rovnosť z definície platí pre bod $O$. Potom dostaneme:
$$
\begin{align*}
\sum_{i=0}^n c_i \vekt{PA_i}
&= \sum_{i=0}^n c_i (\vekt{PO}+\vekt{OA_i}) \\
&= \sum_{i=0}^n c_i \vekt{PO}+ \sum_{i=0}^n c_i\vekt{OA_i}) \\
&= \vekt{PO}+ \sum_{i=0}^n c_i\vekt{OA_i}) \\
&= \vekt{PO}+ \vekt{OX} \\
&= \vekt{PX}.
\end{align*}$$
Zsistili sme, že pre bod $P$ túto rovnosť spĺňa ten istý bod $X$.

Komentáre k riešeniam

Niektorý ste jednoducho prepísali rovnosť ako
$$X-O=\sum_{i=0}^n c_i (A_i - O) = \left(\sum_{i=0}^n c_i A_i\right) - O$$
a potom z toho dostali
$$X=\sum_{i=0}^n c_iA_i.$$

Táto rovnosť dáva zmysel iba ak máme zadefinované, čo je $\sum_{i=0}^n c_iA_i$. Súčet bodov (barycentrický) v afinnom priestore sa ale práve snažíme definovať.
Alebo by tiež dávala zmysel, ak by sme sa pozerali na body ako na $n$-tice. Lenže prvky afinného priestoru nemusia byť $n$-tice. Čiže by si to vyžadovalo vysvetliť, prečo môžeme prejsť k počítaniu v súradniciach.