Postačujúce podmienky pre ľavé/pravé inverzné zobrazenie

[TomasRusin]

Lema:Nech $f:A\to B$ je zobrazenie.
i) Ak je $f$ injekcia a $A\neq\emptyset$, tak existuje k nemu ľavé inverzné zobrazenie.
ii) Ak je $f$ surjekcia, tak existuje k nemu pravé inverzné zobrazenie.

Dôkaz:i)Nech $f:A\to B$ je injekcia.Označme $B_{1} =f(A)=\{f(a); a\in A\}\subseteq B$ množinu všetkých obrazov prvkov z množiny $A$.
Nech $B_{2} = B\setminus B_{1}$. Definujme zobrazenie $g:B\to A$ nasledovne.

Uvažujme prvok $b\in B_{1}$. Z definície množiny $B_{1}$ vyplýva, že existuje nejaké $\alpha \in A$, také, že $f(\alpha)=b$ a keďže $f$ je injektívne, také $\alpha$ je jediné.
Položme teda $g(b)=\alpha$, t.j. obraz prvku $b\in B_{1}$ v zobrazení $g$ je jednoznačne určený prvok $\alpha \in A$ spĺňajúci $f(\alpha)=b$.

Ďalej, keďže $A\neq\emptyset$, tak obsahuje nejaký prvok $a_{0}\in A$. Nech $g(b)=a_{0}$ pre všetky $b\in B_{2}$.
Týmto sme definovali zobrazenie $g:B\to A$, pretože každému $b\in B$ sme jednoznačne priradili jeho obraz $g(b)$.

Teraz ukážeme, že $g$ je ľavé inverzné zobrazenie k $f$, teda, že platí $g\circ f=id_{A}$.
Nech $a\in A$. Počítajme $g\circ f(a)$. Z definície zloženého zobrazenia $g\circ f(a)=g(f(a))$.
Keďže $f(a)\in B_{1}$, tak $g(f(a))$ je taký prvok $\alpha \in A$, že $f(\alpha)=f(a)$.
Teda $\alpha=a$ a následne $g\circ f(a)=g(f(a))=\alpha =a$. Tým pádom je $g\circ f=id_{A}$.


ii)Nech $f:A\to B$ je surjekcia. Pre každé $b\in B$ je množina jeho vzorov $f^{-1}(b)=\{a\in A; f(a)=b\}\subseteq A$, t.j. množina všetkých $a\in A$, ktoré sa zobrazia zobrazením $f$ na $b$, neprázdna, lebo $f$ je surjekcia. Pre každé $b\in B$ môžeme z množiny $f^{-1}(b)$ vybrať nejaký prvok, ktorý označíme $h(b)$.
Týmto sme definovali* zobrazenie $h:B\to A$.

Ostáva overiť, že $f\circ h=id_{B}$. Nech $b\in B$. Potom $f\circ h(b)=f(h(b))$, kde $h(b)$ je prvok $f^{-1}(b)$, čo znemná, že sa zobrazí zobrazením $f$ na $b$.
Teda $f\circ h(b)=b$ pre každé $b$ a preto $f\circ h=id_{B}$.
Q.E.D.


*pri definovaní zobrazenia $h$ sme v skutočnosti využili takzvanú axiómu výberu(http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice), ktorá nám zaručí, že takéto zobrazenie naozaj existuje.