msleziak.com

Skupina A aj B

Predpokladajme, že $4 \times 4$ matica $A$ má charakteristický polynóm $\chi_A(t)=t^4 - 2t^2 + 1$ a minimálny polynóm $m_A(t)=t^2 -1$.
a) Nájdite vlastné hodnoty matice $A$ a $A^{-1}$.
b) Sú matice $A$ a $A^{-1}$ podobné?
c) Čomu sa rovná matica $A^2$?
d) Čomu sa rovná matica $A^{2015}$?

Riešenie

a) Charakteristický polynóm sa dá upraviť ako $\chi_A(t)=(t^2-1)^2=(t-1)^2(t+1)^2$. Vlastné hodnoty sú teda $\pm1$. (Obe sú dvojnásobné.)

c) Pretože minimálny polynóm je $t^2-1$, vidíme, že $A^2=I$.

a) Keďže $A^{-1}=A$, tak vlastné hodnoty matice $A^{-1}$ sú tiež $\pm1$. (Obe dvojnásobné.)
Toto by sme vedeli zdôvodniť aj z toho, že ak $\lambda$ je vlastná hodnota matice $A$, tak $1/\lambda$ je vlastná hodnota matice $A^{-1}$.

b) Z toho, že $A^2=I$ dostávame, $A^{-1}=A$. Teda matica $A$ je podobná s $A^{-1}$; je to dokonca tá istá matica a každá matica je podobná sama sebe.

d) $A^{2k+1}=(A^2)^kA=I^kA=A$ pre ľubovoľné $k\in\mathbb N$.

Komentáre k riešeniam

Ak nájdete jednu maticu $A$, ktorá spĺňa požiadavky zo zadania a vypočítate pre ňu $A^2$ a $A^{2015}$, tak to ešte neznamená, že tieto výsledky budú rovnaké pre ľubovoľnú maticu spĺňajúcu tieto podmienky.

Mnohí ste písali, že ak dve matice majú rovnaké charakteristické polynómy, tak už sú podobné. To platiť nemusí, implikácia tu je iba jedným smerom: viewtopic.php?t=657

Ešte sem aj doplním, že zo zadaných vecí sa dalo prísť aj na to, že táto matica je diagonalizovateľná a Jordanov tvar je $\operatorname{diag}(1,1,-1,-1)$. (Vždy keď faktory minimálneho polynómu sú iba v prvej mocnine, tak z toho vieme, že Jordanov tvar má iba bloky veľkosti $1$.)

Niektorí z vás v písomke tvrdili, že matica $A$ sa rovná matici $$D=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$
To nemusí byť pravda. (Vieme, že matica $A$ je podobná s $D$. Ale rovnať sa nemusia.)

Takisto sa v niektorej písomke vyskytlo tvrdenie, že Jordanov tvar je
$$J=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}.
$$
Toto nemôže sedieť. Skúste si rozmyslieť, že ak nejaká matica má takýto Jordanov tvar, tak minimálny polynóm bude $m(x)=\chi(x)=(x-1)^2(x+1)^2$. (A teda matica s takýmto Jordanovým tvarom nevyhovuje podmienkam zo zadania.)