msleziak.com

Skupina A

Pre maticu $A$ nájdite jej Jordanov tvar:

$$A = \left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 3 & 0 & 0\\
1 & 2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1 & 3
\end{array} \right).$$

Skupina B

Pre maticu $B$ nájdite jej Jordanov tvar:

$$B = \left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 0\\
2 & 2 & 2 & 2
\end{array} \right).$$

Riešenie

Ako prvé skúsme nájsť charakteristický polynóm a jeho korene (t.j. vlastné hodnoty).

V oboch skupinách je výpočet charakterstického polynómu veľmi jednoduchý. Nad diagonálou sú nuly, takže determinant, ktorý rátame, je súčin prvkov na diagonále.

$\chi_A(t)=|tI-A|=
\begin{vmatrix}
t-1& 0 & 0 & 0\\
-1 &t-3& 0 & 0\\
-1 &-2 &t-1& 0\\
-1 &-2 &-1 &t-3
\end{vmatrix}
=(t-1)^2(t-3)^2$.

$\chi_B(t)=|tI-B|=
\begin{vmatrix}
t-1& 0 & 0 & 0\\
-1&t-2& 0 & 0\\
-1&-1 &t-1& 0\\
-2&-2 &-2 &t-2
\end{vmatrix}=(t-1)^2(t-2)^2$

V oboch prípadoch sme zistili, že máme dvojnásobné vlastné hodnoty.

Z toho vieme, ako budú vyzerať prvky na diagonále Jordanovho tvaru - budú to presne tieto hodnoty, každá z nich dvakrát.

Zostáva nám teda zistiť, či pre ktoré z nich budeme mať jediný Jordanov blok veľkosti $2\times2$ a pre ktoré budeme mať 2 Jordanove bloky veľkostí $1\times1$. Vieme, že počet Jordanových blokov k vlastnej hodnote $\lambda$ je $n-h(A-\lambda I)$, kde $n$ je rozmer matice.

Pre zadané matice dostaneme

• $h(A-I)=2$, pre vlastnú hodnotu $1$ budeme mať dva bloky.
• $h(A-3I)=3$, pre vlastnú hodnotu $3$ budeme mať jeden blok.

Teda Jordanov tvar je $J_A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
$.

• $h(B-I)=2$, pre vlastnú hodnotu $1$ budeme mať dva bloky.
• $h(B-2I)=3$, pre vlastnú hodnotu $2$ budeme mať jeden blok.

Teda Jordanov tvar je $J_B=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$.