2. písomka - Kladná definitnosť
Posted: Thu May 14, 2015 8:12 pm
Skupina A
Stačilo využiť Sylvestrovo kritérium, t.j. skontrolovať, že rohové determinanty sú kladné.
V skupine A dostanete $D_1=3$, $D_2=2$, $D_1=1$.
V skupine B dostanete $D_1=2$, $D_2=1$, $D_3=1$.
V oboch prípadoch sú všetky tri hlavné minory kladné, a teda matica je kladne definitná.
Úprava na diagonálny tvar.
Viacerí ste sa rozhodli riešiť túto úlohu úpravou na diagonálny (prípadne kanonický) tvar. Ak sa vám podarí upraviť kvadratickú formu prislúchajúcu matici $A$ regulárnou transformáciou premenných na tvar $y_1^2+y_2^2+y_3^2$, tak z toho tiež vidno, že je kladne definitná.
V skupine A to môžete urobiť napríklad takto: $3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_1^2+x_2^2)+x_1^2$.
V skupine B napríklad takto: $2x_1^2+x_2^2+2x_2^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=x_1^2+(x_1+x_2+x_3)^2+x_3^2$.
Komentáre k riešeniam
Ak sa snažíte upraviť nejakú kvadratickú formu na diagonálny tvar, občas to pôjde jednoduchšie, ak si vhodne zvolíte poradie premenných.
Pri výpočte si vyberieme jednu premennú a snažíme sa doplniť na štvorec tak, aby vo výraze, ktorý zostane, už táto premenná nevystupovala.
Napríkad ak pri kvadratickej formy zo skupiny A začnem s premennou $x_1$, tak dostanem
$3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 = 3\left(x_1+\frac23x_2+\frac13x_3\right)^2 + \dots$
a musím počítať so zlomkami.
Ak skúsim začať s premennou $x_3$ tak (použitím toho istého algoritmu) dostanem
$3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 = (x_3+x_1+x_2)^2+2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2$
a prinajmenšom v tomto prvom kroku som sa počítaniu so zlomkami vyhol.
Niektorí ste sa snažili overiť, či $A$ má kladné vlastné hodnoty. Je pravda, že ak vyjdú vlastné hodnoty symetrickej matice kladné, tak je táto matica kladne definitná.
Pre maticu zo skupiny A však nedostaneme vlastné hodnoty, ktoré by sme vedeli ľahko vyrátať:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=jo ... %2C1%5D%5D
V skupine B by to asi ešte vcelku šlo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=jo ... %2C2%5D%5D
Poznáme z prednášky viacero viet hovoriacich o tom, kedy je nejaká matica kladne definitná. Nie vždy však musia byť všetky z nich rovnako vhodné na použitie.
Sylvestrovo kritérium hovorí, že matica je kladne definitná, ak sú rohové determinanty kladné. To, že sú nezáporné, ešte na kladnú definitnosť nestačí. (Napríklad nulová matica.)
Skupina BZistite, či matica $A$ je kladne definitná.
$$A=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$
RiešenieZistite, či matica $A$ je kladne definitná.
$$A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$
Stačilo využiť Sylvestrovo kritérium, t.j. skontrolovať, že rohové determinanty sú kladné.
V skupine A dostanete $D_1=3$, $D_2=2$, $D_1=1$.
V skupine B dostanete $D_1=2$, $D_2=1$, $D_3=1$.
V oboch prípadoch sú všetky tri hlavné minory kladné, a teda matica je kladne definitná.
Úprava na diagonálny tvar.
Viacerí ste sa rozhodli riešiť túto úlohu úpravou na diagonálny (prípadne kanonický) tvar. Ak sa vám podarí upraviť kvadratickú formu prislúchajúcu matici $A$ regulárnou transformáciou premenných na tvar $y_1^2+y_2^2+y_3^2$, tak z toho tiež vidno, že je kladne definitná.
V skupine A to môžete urobiť napríklad takto: $3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_1^2+x_2^2)+x_1^2$.
V skupine B napríklad takto: $2x_1^2+x_2^2+2x_2^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=x_1^2+(x_1+x_2+x_3)^2+x_3^2$.
Komentáre k riešeniam
Ak sa snažíte upraviť nejakú kvadratickú formu na diagonálny tvar, občas to pôjde jednoduchšie, ak si vhodne zvolíte poradie premenných.
Pri výpočte si vyberieme jednu premennú a snažíme sa doplniť na štvorec tak, aby vo výraze, ktorý zostane, už táto premenná nevystupovala.
Napríkad ak pri kvadratickej formy zo skupiny A začnem s premennou $x_1$, tak dostanem
$3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 = 3\left(x_1+\frac23x_2+\frac13x_3\right)^2 + \dots$
a musím počítať so zlomkami.
Ak skúsim začať s premennou $x_3$ tak (použitím toho istého algoritmu) dostanem
$3x_1^2+2x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 = (x_3+x_1+x_2)^2+2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2$
a prinajmenšom v tomto prvom kroku som sa počítaniu so zlomkami vyhol.
Niektorí ste sa snažili overiť, či $A$ má kladné vlastné hodnoty. Je pravda, že ak vyjdú vlastné hodnoty symetrickej matice kladné, tak je táto matica kladne definitná.
Pre maticu zo skupiny A však nedostaneme vlastné hodnoty, ktoré by sme vedeli ľahko vyrátať:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=jo ... %2C1%5D%5D
V skupine B by to asi ešte vcelku šlo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=jo ... %2C2%5D%5D
Poznáme z prednášky viacero viet hovoriacich o tom, kedy je nejaká matica kladne definitná. Nie vždy však musia byť všetky z nich rovnako vhodné na použitie.
Sylvestrovo kritérium hovorí, že matica je kladne definitná, ak sú rohové determinanty kladné. To, že sú nezáporné, ešte na kladnú definitnosť nestačí. (Napríklad nulová matica.)