msleziak.com

Skupina A

Nájdite kanonický tvar danej kvadratickej formy. Uveďte aj transformáciu premenných, ktorá ju prevedie na kanonický tvar:
$$x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3.$$
Ak preferujete maticový zápis, môžete úlohu riešiť pomocou neho. V takom prípade sa ako riešenie očakáva vyjadrenie v tvare $A=PDP^T$ alebo v tvare $D=QAQ^T$, kde $A$ je matica danej kvadratickej formy, $D$ je diagonálna matica a $P$ resp. $Q$ je nejaká regulárna matica.

Skupina B

Nájdite kanonický tvar danej kvadratickej formy. Uveďte aj transformáciu premenných, ktorá ju prevedie na kanonický tvar:
$$x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3.$$
Ak preferujete maticový zápis, môžete úlohu riešiť pomocou neho. V takom prípade sa ako riešenie očakáva vyjadrenie v tvare $A=PDP^T$ alebo v tvare $D=QAQ^T$, kde $A$ je matica danej kvadratickej formy, $D$ je diagonálna matica a $P$ resp. $Q$ je nejaká regulárna matica.

Komentár k zadaniu:
(Na vysvetlenie prečo tam vlastne bol ten odsek o maticovom zápise a o tvare výsledku.) Z toho, čo sme sa tento semester naučili, by vám malo byť jasné, že táto úloha sa dá ekvivalentne preformulovať tak, že chceme nájsť diagonálnu maticu, ktorá je kongruentná s maticou $A$ a na diagonále sú iba čísla $0$, $1$ alebo $-1$.
Jeden spôsob, ktorý sme sa naučili, bol dopĺňaním na štvorec. Ak to robíte takto, tak dostanete výsledok v tvare kvadratickej formy (v nových premenných) a dostanete vzťah medzi starými a novými premennými. Druhý spôsob je pomocou riadkových a stĺpcových úprav. Vtedy výsledok dostanete ako diagonálnu maticu $D$ a viete vypočítať aj takú maticu $P$, že platí $PAP^T=D$.
Samozrejme, ak máte vyjadrený vzťah medzi starými a novými premennými, tak z neho viete dostať nejakú maticovú rovnosť. Obrátene z maticovej rovnosti by ste mali byť schopný dostať predpis pre transformáciu premenných. Tento dodatok preto, aby zo zadania bolo jasné, že to môžete nechať v tvare, ktorý vám viac vyhovuje (ktorý je prirodzenejší pre spôsob riešenia, ktoré ste zvolili).

\newpage

Riešenia

Postup je v oboch skupinách rovnaký. Uvediem riešenie pre skupinu B.

Doplnením na štvorec

$x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3=$ $
(x_1+x_2-x_3)^2+x_2^2+2x_2x_3+2x_3^2=$ $
(x_1+x_2-x_3)^2+(x_2^2+x_3)^2+x_3^2=$ $
y_1^2+y_2^2+y_3^2$
pre
$y_1=x_1+x_2-x_3$
$y_2=x_2+x_3$
$y_3=x_3$

Ak by sme chceli napísať aj príslušnú maticovú rovnosť (to je tá časť, ktorú ste na písomke nemuseli robiť), tak si všimneme, že transformácia premenných sa dá zapísať ako
$(y_1,y_2,y_3)=(x_1,x_2,-x_3)
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$
Potom dostaneme rovnosť $A=PDP^T$, kde
$P=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
a
$D=I$

Môžeme aj skontrolovať, že skutočne
$PDP^T=PIP^T=PP^T=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
$

Pomocou riadkových a stĺpcových úprav

$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

$I=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
2 &-1 & 1
\end{pmatrix}
$

Môžeme skontrolovať, že platí
$QAQ^T=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
2 &-1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 2 \\
0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 2 \\
0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

Môžeme si tiež všimnúť, že $Q=P^{-1}$. (Nemusí to tak vyjsť vždy. My sme v oboch prípadoch použili postupy, ktoré si navzájom zodpovedajú.)

Aj tu by sa dalo prejsť od maticového zápisu naspäť k zápisu v premenných a vyjadriť transformáciu premenných nie pomocou matice ale podobným spôsobom, ako sme ukázali pri prvom spôsobe.

Chyby, ktoré sa vyskytovali; komentáre k odovzdaným riešeniam

Možno sa oplatí ako skúšku správnosti vo výsledku, ktorý ste dostali, skúsiť dosadiť nejaké konkrétne hodnoty. (Takto by ste s veľkou pravdepodobnosťou chyby, ktoré ste spravili.)

Zdá sa, že je problém umocniť na druhú výraz obsahujúci viac ako dva členy.
Pokiaľ robíte chyby vo výpočte vecí ako napríklad $(x_1-x_2+x_3)^2$, tak môžete pre istotu postupovať pomalšie a roznásobiť to ako $(x_1-x_2+x_3)(x_1-x_2+x_3)$.
Každopádne vzorec $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ sa pamätá ľahko. (Je podobný, ako pre dve premenné.)
Zdôrazním, že pri umocnení $(x_1-x_2+x_3)^2$ bude vo výsledku $+x_2^2$ a nie $-x_2^2$.

Ešte poznamenám, že ak by ste sa snažili nájsť ortogonálnu maticu $P$, tak by sa vám to asi nepodarilo. Vyšli by tam ako vlastné hodnoty "škaredé" čísla, s ktorými by sa veľmi zle rátalo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ei ... %2C3%5D%5D
Ortogonálnu maticu sme tu však od vás nechceli. (Tú sme chceli v druhej úlohe, ktorá bola zostavená tak, aby tam vyšli "rozumné" čísla.)