Piata písomka - ortogonálna podobnosť
Posted: Fri May 22, 2015 9:39 am
Skupina A
Riešenie
Štandardný postup: Nájdem vlastné vektory, zortogonalizujem (len ak treba - t.j. ak mám násobné vlastné hodnoty), vynormujem (predelím veľkosťou), poukladám to matice (v správnom poradí).
Opäť to môžem ukázať na príkade zo skupiny B.
Najprv vypočítame $\chi_A(x)=x(x+1)(x-3)$.
Zistili sme, že vlastné čísla sú $0$, $-1$, $3$. Nájdeme pre tieto vlastné čísla vlastné vektory.
To znamená, že riešime homogénnu sústavu s maticou $(A-\lambda I)^T$. V tomto prípade, keďže pracujeme so symetrickou maticou, je to to isté ako $A-\lambda I$.
Vlastný vektor k $0$ je $(1,-1,-1)$.
Vlastný vektor k $-1$ je $(1,1,0)$.
Vlastný vektor k $3$ je $(1,-1,2)$.
(Ak už sme mali dva vlastné tak tretí môžeme vyrátať aj tak, že hľadáme vektor kolmý na prvé dva.)
Ako kontrolu môžeme overiť, či sú to naozaj vlastné vektory. Môžeme sa tiež pozrieť, či sú na seba kolmé. (Z vety z prednášky vieme, že vlastné vektory k rôznym vlastným číslam symetrickej matice musia byť navzájom kolmé.)
Maticu $P$ dostaneme tak, že ako jej riadky vezmeme vynormované vlastné vektory.
V matici $D$ sú na diagonálne vlastné čísla. (V rovnakom poradí, ako sme dali vlastné vektory do $D$.)
Jedna možná odpoveď je teda:
$P=
\begin{pmatrix}
\frac1{\sqrt3} &-\frac1{\sqrt3} &-\frac1{\sqrt3} \\
\frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt2} & 0 \\
\frac1{\sqrt6} &-\frac1{\sqrt6} & \frac2{\sqrt6} \\
\end{pmatrix}
$ a $D=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
$
(A ostatné možnosti sa budú líšiť iba zmenami poradia a prenásobením niektorého riadku v $P$ číslom $-1$.)
Chyby, ktoré sa vyskytovali; komentáre k odovzdaným riešeniam
Ak dostanete, že nejaké číslo $\lambda$ je vlastné číslo (=je koreň charakteristického polynómu) a potom zistíte pri riešení homogénnej sústavy s maticou $(A-\lambda I)^T$, že riešením nie je nijaký nenulový vektor, treba hľadať chybu buď vo výpočte charakteristického polynómu a jeho koreňov alebo v riešení sústavy.
Ortogonálna matica je taká, kde sú riadky (stĺpce) tvoria ortonormálnu bázu. (Ako ste hovorili na cviku, vy by ste nazvali takú maticu ortonormálnou. Toto je ale štandardná terminológia, treba sa s tým zmieriť.)
Čiže treba nezabudnúť ešte predeliť každý z vlastných vektorov veľkosťou.
Do matice $P$ dávam vlastné vektory v rovnakom poradí, v akom som dal vlastné čísla do matice $D$.
Skupina BPre danú symetrickú maticu $A$ nájdite diagonálnu maticu $D$ a ortogonálnu maticu $P$, tak aby platilo $PAP^T=D$.
$$A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 &-1 \\
1 & 0 &-1 \\
-1 &-1 & 2
\end{pmatrix}$$
Pre danú symetrickú maticu $A$ nájdite diagonálnu maticu $D$ a ortogonálnu maticu $P$, tak aby platilo $PAP^T=D$.
$$A=
\begin{pmatrix}
0 &-1 & 1 \\
-1 & 0 &-1 \\
1 &-1 & 2
\end{pmatrix}$$
Riešenie
Štandardný postup: Nájdem vlastné vektory, zortogonalizujem (len ak treba - t.j. ak mám násobné vlastné hodnoty), vynormujem (predelím veľkosťou), poukladám to matice (v správnom poradí).
Opäť to môžem ukázať na príkade zo skupiny B.
Najprv vypočítame $\chi_A(x)=x(x+1)(x-3)$.
Spoiler:
To znamená, že riešime homogénnu sústavu s maticou $(A-\lambda I)^T$. V tomto prípade, keďže pracujeme so symetrickou maticou, je to to isté ako $A-\lambda I$.
Spoiler:
Vlastný vektor k $-1$ je $(1,1,0)$.
Vlastný vektor k $3$ je $(1,-1,2)$.
(Ak už sme mali dva vlastné tak tretí môžeme vyrátať aj tak, že hľadáme vektor kolmý na prvé dva.)
Ako kontrolu môžeme overiť, či sú to naozaj vlastné vektory. Môžeme sa tiež pozrieť, či sú na seba kolmé. (Z vety z prednášky vieme, že vlastné vektory k rôznym vlastným číslam symetrickej matice musia byť navzájom kolmé.)
Maticu $P$ dostaneme tak, že ako jej riadky vezmeme vynormované vlastné vektory.
V matici $D$ sú na diagonálne vlastné čísla. (V rovnakom poradí, ako sme dali vlastné vektory do $D$.)
Jedna možná odpoveď je teda:
$P=
\begin{pmatrix}
\frac1{\sqrt3} &-\frac1{\sqrt3} &-\frac1{\sqrt3} \\
\frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt2} & 0 \\
\frac1{\sqrt6} &-\frac1{\sqrt6} & \frac2{\sqrt6} \\
\end{pmatrix}
$ a $D=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
$
(A ostatné možnosti sa budú líšiť iba zmenami poradia a prenásobením niektorého riadku v $P$ číslom $-1$.)
Chyby, ktoré sa vyskytovali; komentáre k odovzdaným riešeniam
Ak dostanete, že nejaké číslo $\lambda$ je vlastné číslo (=je koreň charakteristického polynómu) a potom zistíte pri riešení homogénnej sústavy s maticou $(A-\lambda I)^T$, že riešením nie je nijaký nenulový vektor, treba hľadať chybu buď vo výpočte charakteristického polynómu a jeho koreňov alebo v riešení sústavy.
Ortogonálna matica je taká, kde sú riadky (stĺpce) tvoria ortonormálnu bázu. (Ako ste hovorili na cviku, vy by ste nazvali takú maticu ortonormálnou. Toto je ale štandardná terminológia, treba sa s tým zmieriť.)
Čiže treba nezabudnúť ešte predeliť každý z vlastných vektorov veľkosťou.
Do matice $P$ dávam vlastné vektory v rovnakom poradí, v akom som dal vlastné čísla do matice $D$.