msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

1. prednáška (22.9.)
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť), komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (jednoznačnosť pre asociatívne operácie).
(Nerobili sme zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní ani pre viac ako 3 prvky. Ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať.)
Grupy. Zatiaľ sme iba zadefinovali grupu a komutatívnu grupu.

T.j. z textu k prednáške sme vlastne stihli celú časť 3.1 a prvú definíciu z časti 3.2. (Nerobil som časť 3.1.1 o zovšeobecnenom asociatívnom zákone - tá je v texte označená ako hviezdičková - nepovinná.)

2. prednáška (29.9.)
Grupy. Zopakovali sme definíciu grupy a dokázali zákony o krátení.
Dokázali sme, že $(a*b)^{-1}=(b^{-1}*a^{-1})$. Dôkaz toho, že $(a^{-1})^{-1}=a$ som nechal na rozmyslenie. (Je veľmi podobný.)

Polia. Definícia poľa. Základné vlastnosti a príklady polí. (Z tvrdenia 3.3.4, kde sú vymenované základné vlastnosti poľa, som niektoré veci vynechal a nechal na rozmyslenie pre vás - konkrétne časti (ii), (iii), (v), (vi), (viii). Takisto som nechal na rozmyslenie to, že obe definície poľa, ktoré sme uviedli, sú ekvivalentné - ak už máme dokázané tvrdenie 3.3.4, tak by to malo byť vcelku ľahké. Asi by som mal ešte upozorniť na to, že na prednáške som v tej druhej definícii poľa zabudol pridať podmienku $1\ne0$.)
Skončili sme vetou, že ak $n$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole. Z nej som stihol ukázať zatiaľ iba to, že $(\mathbb Z_n,\oplus)$ je komutatívna grupa a že ak $n$ je prvočíslo, tak sa dá krátiť nenulovým prvkom. (T.j. pre $a\ne0$ platí $a\cdot b=a\cdot c$ $\Rightarrow$ $b=c$.)

Pripomeniem ešte aj to, že sme sa dohodli, že budú pre záujemcov prednášky o komplexných číslach: viewtopic.php?f=6&t=707

3. prednáška (6.10.):
Polia. Dokončili sme dôkaz, že $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole pre každé prvočíslo $n$. A chvíľu sme sa rozprávali o počítaní v takomto poli, najmä o hľadaní inverzného prvku.
Nehovoril som o $n\times a$ a $a^n$ (definícia 3.3.12 a príklad 3.3:13).
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor. Ukázali sme si konkrétne príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$, $\mathbb R^{\mathbb R}$. (Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorové priestory $F^n$ a $F^M$.) Nejaké jednoduché vlastnosti (veta 4.1.6) som iba vymenoval, dokázal som na prednáške iba jednu. Dôkazy ostatných si môžete rozmyslieť - mali by byť veľmi podobné ako keď sme dokazovali podobné veci týkajúce sa násobenia nulou v poli.
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov.

4. prednáška (13.10.):
Podpriestory. Prienik dvoch podpriestorov je podpriestor. Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor.
Lineárna kombinácia. Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal. Lineárny obal je podpriestor. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.) Vektor $\vec\alpha$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\alpha]$.

5. prednáška (20.10.):
Lineárna nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady. Lineárna závislosť pre jeden resp. dva vektory. Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene (dôkaz a vysvetlili sme si ju aj na konkrétnom príklade).

******************

Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $c_1\vec\alpha_1+\dots+c_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $c_1=\dots=c_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov z kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.

******************

Pár doplňujúcich poznámok - ktoré sú do istej miery navyše.

Tiež sa občas vyskytli na dnešnej prednáške také veci, kde sme sa potrebovali zamyslieť nad niečím ako: Čo je lineárna kombinácia 0 vektorov resp. prázdnej množiny vektorov? Čo je lineárny obal 0 vektorov (resp. prázdnej množiny vektorov)? Podobná otázka by bola: Ak mám 0 vektorov, sú lineárne nezávislé? (Inak: je prázdna množina vektorov lineárne nezávislá?) Ja sa budem snažiť formulovať všetky veci tak, aby sme sa vyhli takýmto krajným prípadom. (Asi by bolo lepšie, aby sme viac času strávili rozmýšľaním nad takými "štandardnejšími" situáciami.) Ale kto chce, môže sa nad tým skúsiť zamyslieť. (A ak bude treba môžem časom dopísať niečo na fórum.)

Na prednáške sa niekto pýtal otázku, ktorá nás prirodzene doviedla k tomu, že či by sa lineárna závislosť a nezávislosť dala definovať aj pre ľubovoľnú množinu vektorov. (Naša definícia bola iba pre konečne veľa vektorov. A takáto verzia bude úplne stačiť na veci, ktoré budeme robiť.) Sami ste dokonca prišli na to, že rozumná definícia by bola, že podmnožina $A\subseteq V$ je lineárne nezávislá množina práve vtedy, ak každá jej konečná podmnožina je lineárne nezávislá. (A pre konečné podmnožiny to už máme definované - tak ako sme hovorili na prednáške.) V poznámkach k prednáške máte niečo s tým súvisiace v poznámke 4.4.23. Nerozoberám tam však detaily - v podstate hlavnú vec, čo sa tam dá dočítať, že ak sa niekto o tom dozvedieť viac, tak vhodné kľúčové slovo je Hamelova báza: Google, Google Books, Wikipédia. (Opäť platí, že ak by bol o túto tému veľký záujem, tak môžem skúsiť napísať niečo na fórum alebo aspoň pridať nejaké poriadnejšie odkazy, kde nájdete viac.)

6. prednáška: (27.10.)
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru.
Aby sme videli aspoň jeden príklad nekonečnorozmerného priestoru, tak sme si ukázali, že priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$ nie je konečnorozmerný.

*****

V texte v tejto kapitole nájdete nejaké veci, ktoré som nehovoril na prednáške. Konkrétne som nerobil príklad 4.2.19 - ale veľa takýchto príkladov bude na cviku. Možno sa vám oplatí zamyslieť sa nad poznámkou 4.2.20, ktorá s týmto príkladom súvisí - ale opäť, ide o vec, ktorú budete počuť ešte viackrát.

Nerobil som príklad 4.4.21. To je ten istý príklad, ktorý je napísaný tu: viewtopic.php?f=6&t=349
Ide tam o dôkaz toho, že $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Koho to zaujíma, môže sa pozrieť - je to ukážka, že občas môžu veci z lineárnej algebry pomôcť v situáciách, kde by sme ich na prvý pohľad neočakávali. (A podobné veci budeme používať v Algebre 2, keď sa budeme rozprávať o rozšíreniach polí.)

Nehovoril som nič z poznámky 4.4.23 - tá hovorí iba o tom, že podobné veci fungujú aj v nekonečnorozmerných priestoroch. (My sme definovali lineárnu nezávislosť a lineárny obal iba pre konečne veľa vektorov; dalo by sa to spraviť aj pre ľubovoľnú množinu vektorov, nie nutne konečnú. Potom sa dá hovoriť o báze aj v nekonečnorozmerných priestoroch. O tomto som písal už minule.)

7. prednáška: (3.11.)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie.
Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali sme elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu matíc. Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici. Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar.

Naschvál som nehovoril o súčte matíc, skalárnom násobku matice a o vektorovom priestor $M_{m,n}(F)$. K týmto veciam sa plánujem vrátiť, keď dokončím veci o riadkovej ekvivalencii. Nechcel som ale, aby to dnes dopadlo tak, že zostanem uprostred dlhšieho dôkazu. Preto som sa venoval radšej tým ďalším témam. (Chcel som hlavne stihnúť - pomerne dlhý - dôkaz toho, že pre každú maticu existuje RTM, ktorá je s ňou riadkovo ekvivalentná.)

8. prednáška: (10.11.)
Riadková ekvivalencia. Nenulové riadky RTM sú lineárne nezávislé. Zadefinovali sme hodnosť, povedali sme si, ako ju vieme zistiť pre RTM a tiež to, ak pre RTM vieme zistiť, či zadaný vektor patrí do $V_A$. Dokázali sme ešte: Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$. Z toho sme ako dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc.

Odporúčam si samostatne pozrieť:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že ten dôkaz bol nejasný.)
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM. (Ale o tomto budeme hovoriť i na cviku.)
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Snáď aj toto stihnem spomenúť na cviku.)

Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, ekvivalentné podmienky. Zloženie lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie.

17.11. prednáška nebola (sviatok).

9. prednáška: (24.11.)
Lineárne zobrazenia. Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. Matica lineárneho zobrazenia.
Súčin matíc. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení. Asociatívnosť a ďalšie vlastnosti. Vyjadrenie lineárneho zobrazenia ako $f(\vec\alpha)=\vec\alpha A_f$.
Na konci sme si ešte povedali o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách.
(V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme taký príklad nerobili, budeme takéto niečo robiť na cvičení.)

Ako jeden z príkladov sme videli zloženie dvoch rotácií. Pri tom nám vlastne vyšli súčtové vzorce pre kosínus a sínus.
Niečo podobné sme videli už predtým pri komplexných číslach.
Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: viewtopic.php?t=571