Preklepy a chyby v texte k prednáške (ZS 2015/16)

[Martin Sleziak]

Aktuálnu verziu textu k prednáške nájdete na stránke predmetu.

Sem sa budem snažiť písať nejaké preklepy a chyby, ktoré si v texte všimnem. Keď na niečo narazíte, môžete to sem napísať aj vy. (Body za to nie sú žiadne, ale budete mať dobrý pocit, že pomôžete spolužiakom ak by narazili na ten istý problém, a tiež študentom, ktorý prídu po vás a dostanú do ruky verziu textu, kde budú tieto veci už opravené. (Pokiaľ ste si nie istý, či ide skutočne o chybu a potrebujete ďalšie vysvetlenie, tak radšej použite samostatný topic.)

[Martin Sleziak]

Po upozornení na to, že v úlohe 4.5.4 sa používa nikde nedefinovaný pojem direktného súčtu viac než dvoch podpriestorov (a riešenie úlohy dosť závisí od toho, ako presne takýto súčet zadefinujem) sa dohodnime, že tam ešte pridám takúto vec:

Úloha 4.5.4*. Nech $S_1,\dots,S_n$ a $P$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$. Ukážte, že nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:

• $P=S_1+\dots+S_n$ a pre každé $i=1,\dots,n$ platí $S_i\cap(S_1+\dots+S_{i-1}+S_{i+1}+\dots+S_n)=\{\vec0\}$;
• Každý vektor $\vec\gamma\in P$ sa dá práve jedným spôsobom vyjadriť v tvare $\vec\gamma=\vec\alpha_1+\dots+\vec\alpha_n$, kde $\vec\alpha_i\in S_i$ pre $i=1,\dots,n$.

Ktorúkoľvek z týchto ekvivalentných podmienok môžeme zobrať za definíciu priameho súčtu $S_1\oplus \dots \oplus S_n$. (Pri definícii lineárneho súčtu $n$ podpriestorov nijaké komplikácie nenastanú a môžeme ho definovať jednoducho ako $S_1+\dots+S_n=\{\vec\alpha_1+\dots+\vec\alpha_n; \vec\alpha_i\in S_i$ pre $i=1,\dots,n\}$.)

Po pridaní tejto úlohy už bude úloha 4.5.4 o dosť jednoduchšia:
Úloha 4.5.5. Dokážte, že ak $\vec{e_1},\ldots, \vec{e_k}$ je báza vektorového priestoru $V$, tak $V=[\vec{e_1}]\oplus \ldots \oplus [\vec{e_k}]$.
(Ako definíciu priameho súčtu viacerých podpriestorov môžete brať ktorúkoľvek z~ekvivalentných podmienok z úlohy 4.5.4*.)

(Keď budem najbližšie aktualizovať text k prednáške, tak sa to tam objaví. To však možno bude až budúci semester - v závislosti od toho, koľko iných chýb sa nájde a ako veľa času budem mať.)