msleziak.com

1. cvičenie: (24.9.)
Dnes na cvičení bola vlastne prednáška - prebrali sme funkcie.
Stihli sme: Definíciu zobrazenia, skladanie zobrazení. Injektívne, surjektívne, bijektívne zobrazenia.
Stihol som ešte vysloviť vetu, že k $f$ existuje inverzné zobrazenie, práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. Dôkaz som však už nestihol - ten zostal nabudúce.

Pridám ešte linku na dôkaz tvrdenia o tom, aký je súvis injektívnosti/surjektívnosti s existenciou ľavého či pravého inverzného zobrazenia: viewtopic.php?f=6&t=68
(Táto vec je v texte uvedená medzi cvičeniami. Na cviku som sa však k nej nedostal.)

2. cvičenie: (1.10.)

Zobrazenia. Ukázali sme, že ak $f\circ g=f\circ h$ a $f$ je injekcia, tak $g=h$. (To je v podstate jedna implikácia z úlohy 2.2.9.)
Dokázali sme, že inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. (V poznámkach sú uvedené dva dôkazy, robil som jeden z nich.)
Tiež sme si povedali, že $(f^{-1})^{-1}=f$ a $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Tú druhú rovnosť sme aj dokázali.

Permutácie. Povedali sme si niečo o permutáciách a ich skladaní. Ukázali sme, ako sa vypočíta zložená permutácia, inverzná permutácia a $\tau^n$ pre nejakú permutáciu $\tau$. (V podstate sme prešli podkapitolu 2.3 z poznámok.)
Chvíľu sme sa rozprávali aj o tom ako by sa indukciou definovalo $\tau^n$ a ako by sa matematickou indukciou o tom dokazovali nejaké veci (napríklad $\tau^n\circ\tau^k=\tau^{n+k}$ alebo $(\tau^n)^k=\tau^{nk}$). Ak si chcete precvičiť úlohy na matematickú indukciu takéhoto typu, môžete sa pozrieť v poznámkach na definíciu 3.3.12 a úlohu 3.3.5, kde sa veľmi podobné veci robia s prvkami poľa, súčtom a súčinom.

Grupy a binárne operácie.
Stihli sme sa pozrieť na otázku, či $\mathbb R$ s operáciou $a*b=ab+a+b$ je grupa. (Zistili sme, že to stroskotalo na tom, že $-1$ nemá inverzný prvok. Platí asociatívnosť, komutatívnosť a neutrálny prvok je $0$.)
Potom sme sa pýtali tú istú otázku pre $\mathbb R\setminus\{-1\}$; to sme už nestihli spraviť. Asi sa k tej úlohe vrátime ešte nabudúce.
Hlavná vec, ktorú by som chcel pri tom prechode od $\mathbb R$ k $\mathbb R\setminus\{-1\}$ je, aby ste si uvedomili, že niektoré vlastnosti sa prenesú z väčšej množiny na menšiu automaticky (napr. asociatívnosť) a pri niektorých to tak nemusí byť (napr. binárna operácia).

Kto chce, môže sa pozrieť aj sem, kde je niečo popísané ešte presne o tejto istej úlohe: viewtopic.php?f=29&t=495
Vlastne sa tam hovorí o tom, že $(\mathbb R\setminus\{-1\},*)$ je v istom zmysle "rovnaká" grupa ako $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$. Síce sa tam objavia slová ako "homomorfizmus" a "izomorfizmus", čo sú pojmy, ktoré sme sa neučili. Ale asi by sa to malo dať čítať aj bez toho. (Prinajmenšom ten príklad s trojprvkovými grupami by mal byť pochopiteľný - a je asi ľahší ako tento príklad.) O izomorfizmoch a homomorfizmoch grúp sa dozviete na algebre 2. Tento semester sa neskôr stretneme s izomorfizmami vektorových priestorov.

3. cvičenie: (8.10.)
Binárne operácie a grupy.
Ešte raz sme sa vrátili k operácii $a*b=ab+a+b$. Tentokrát na množine $(\mathbb R\setminus\{-1\}$. Hlavne z toho dôvodu, že sme si chceli rozmyslieť, ktoré vlastnosti sa "zdedia" z väčšej množiny na menšiu (ak máme "tú istú" binárnu operáciu). Niečo taktéto nájdete v texte v poznámke 4.2.6, ktorá sa týka vektorových podpriestorov.
Skontrolovali sme, že ak je binárna operácia asociatívna, tak všetky "zmysluplné" uzátvorkovania štyroch prvkov dajú ten istý výsledok - príklad 3.1.13 v texte. (Takisto máte v texte - nepovinný -dôkaz, že to funguje pre ľubovoľný počet prvkov.)
Spomenul som, že počet takýchto uzátvorkovaní je Catalanove číslo. To je téme z kombinatoriky, nie z algebry - ale ak by niekoho zaujala, tak tu je linka.

Polia. Overovali sme, či nejaké množiny s obvyklým sčitovaním a násobením. Keďže sme v podmnožinách $\mathbb R$ a berieme obvyklé $+$ a $\cdot$, tak viaceré vlastnosti sme mali zadarmo. (Bolo sa treba zamerať najmä na to, či ide o binárnu operáciu a či inverzné prvky padnú do danej množiny.) Konkrétne sme zistili, že (s obvyklým sčitovaním a násobením):

• $\{a+b\sqrt3; a,b\in\mathbb Q\}$ je pole;
• $\{a+b\sqrt3; a,b\in\mathbb Z\}$ nie je pole;
• $\{a+b\sqrt3; a,b\in\mathbb R\}$ je pole (lebo to je to isté ako $\mathbb R$);
• $\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ nie je pole;
• $\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole.

Posledný príklad považujem za náročnejší, ale tie predtým beriem ako štandardné úlohy, ktoré by mala väčšina z vás zvládnuť.
Pripomeniem, že v týchto úlohách sa ako pomerne užitočné ukázalo to, že sme vedeli dokázať, že pre ľubovoľné $a,b,c,d\in\mathbb Q$ platí:
$$a+b\sqrt3=0 \Leftrightarrow a=b=0$$
$$a+b\sqrt3=c+d\sqrt 3 \Leftrightarrow a=c \land b=d$$

Pridám tu ešte linku na niečo o poli $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$: viewtopic.php?f=6&t=349
Viac-menej to isté je i v texte v príkladoch 4.4.21 a 6.5.6. (Uvidíme, či sa podarí stihnúť sa na niečo z toho pozrieť na prednáške.)
Snáď je zaujímavé vedieť, že nejaké veci, ktoré sa naučíme na tomto predmete, nám môžu výrazne zjednodušiť dôkaz toho, že toto bude pole.

4. cvičenie: (15.10.)
Trochu sme zopakovali počítanie v $\mathbb R^3$ a v $(\mathbb Z_5)^3$.
$F$ je vektorový priestor nad $F$ (úloha 4.1.1), $\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$ (úloha 4.1.10).
Vektorový priestor reálnych postupností - úloha 4.1.3.
Potom sme sa chvíľu rozprávali o $n\times\vec\alpha$ a indukciou sme dokázali $m\times(n\times\vec\alpha)=(mn)\times\vec\alpha$.
Riešili sme úlohy, kde bolo treba zistiť, či daná podmnožina je podpriestor $\mathbb R^n$ resp. podpriestor $\mathbb R^{\mathbb R}$. (Úlohy 4.2.3 a 4.2.4.)

5. cvičenie: (22.10.)
Lineárny obal: Úlohy 4.3.2, 4.3.3.
Lineárna kombinácia: Úloha 4.3.5. (Úlohu 4.3.6 sme už nestihli - chcem sa aspoň k niektorej časti vrátiť nabudúce.)

Rozprávali sme sa trochu o tom, čo bude na prvej písomke. A tiež o tom, že na termíne sa dohodneme, keď budeme mať tie veci prebraté na cviku. (Odhadol som, že by na to malo stačiť najbližšie cviko. Možno som bol prehnane optimistický.)
viewtopic.php?f=6&t=750

6. cvičenie: (29.10.)
Úloha 4.3.6 (lineárna závislosť/nezávislosť v $\mathbb R^\mathbb R$).
Úlohy 4.4.2, 4.4.3, 4.4.4.
Ešte sme sa pozreli na dimenziu tých dimenziu podpriestorov $\mathbb R^4$
$S_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+x_2+x_3+x_4=0\}$
$S_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+x_2+x_3+x_4=0,x_2-x_3+x_4=0\}$
$S_3=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+x_2+x_3+x_4=0,x_2-x_3+x_4=0, x_1+x_4=0\}$
Videli sme, že pri týchto priestoroch to funguje podobne ako nám to hovorí geometrická predstava o prienikoch rovín v trojrozmernom priestore. (Neskôr si ukážeme, že to takto funguje naozaj všeobecne.)

V súvislosti s úlohou 4.3.6 sme sa rozprávali o tom, že polynóm sa bude rovnať nule práve vtedy, keď sa všetky koeficienty rovnajú nule. Na tejto prednáške to môžete používať ako fakt, ale pozreli sme sa aj na to, ako sa to dá zdôvodniť. Pridám aj dve linky: môžete sa pozrieť sem alebo sem.

Takisto si môžeme všimnúť, že z úlohy 4.4.4 sme dostali, že každý polynóm stupňa $n$ sa dá vyjadriť ako $c_n(x-1)^n+\dots+c_1(x-1)+c_0$ pre nejaké koeficienty $c_n,\dots,c_1,c_0$. Toto súvisí s niečím, čomu sa zvykne hovoriť Taylorov rozvoj polynómu: viewtopic.php?f=7&t=687 Na algebre 2 sa naučíme aj ako vyrátať tieto koeficienty. A tiež sa na to dá pozerať ako na špeciálny prípad Taylorovho radu, s ktorým by ste sa mohli stretnúť na analýze.

7. cvičenie: (5.11.)
Vlastne všetky úlohy, ktoré sme dnes rátali, boli také, kde sa dali použiť riadkové operácie a úprava na redukovanú trojuholníkovú maticu. (Typov úloh, kde sa dajú tieto veci použiť, bude ešte veľmi veľa: viewtopic.php?f=29&t=540 )
Konkrétne sme sa pozreli na úlohy 4.4.6, 5.2.2, 5.2.4, 5.2.5 a 5.2.3.
Rozprávali sme sa aj o tom, ako sa dá robiť čiastočná skúška správnosti pri úprave na RTM (viewtopic.php?f=29&t=531 a poznámka 5.2.18).

Pripomeniem, že budúci týždeň je písomka: viewtopic.php?f=6&t=750
A tiež to, že sme sa dohodli na konzultačných hodinách: viewtopic.php?f=6&t=759

8. cvičenie: (12.11.)
Rátali sme príklady na hodnosť (vrátane príkladov na hodnosť matice s parametrom). Konkrétne sme spravili niečo z úloh 5.2.6, 5.2.7, 5.2.8.
Jednu úlohu s parametrom sme vyrátali aj spôsobom, že sme išli viac-menej presne podľa algoritmu z dôkazu. (Ako ste to nazvali vy - bez trikov.)

EDIT: Oba príklady na hodnosť s parametrom, ktoré sme rátali na cviku som pridal aj na fórum:
viewtopic.php?f=6&t=782
viewtopic.php?f=6&t=783
Tu nájdete ešte jeden post na fóre, kde je vyrátaná hodnosť v závislosti od parametra: viewtopic.php?f=21&t=160

19.11. sme písali písomku.

9. cvičenie: (26.11.)
Matica zobrazenia, inverzná matica, súčin matíc. Úlohy 5.3.1, 5.3.2 5.4.2, 5.4.3, 5.5.1, 5.5.4.
Porozprávali sme sa aj o súvise súčinu matíc s riadkovými operáciami.(Kapitola 5.6. v texte - na prednáške sa už tejto téme nebudeme venovať.)

V podstate sme na cviku predbehli prednášku. Z vecí, ktoré ešte na prednáške neodzneli sme využívali, že:
* Inverzná matica je presne matica inverzného zobrazenia.
* Lineárne zobrazenie je injektívne práve vtedy, keď obrazy bázových vektorov sú lineárne nezávislé.
* Lineárne zobrazenie je surjektívne práve vtedy, keď obrazy bázových vektorov tvoria generujúcu množinu.

EDIT: Túto linku som sem už raz dával, ale pridám ju znovu. viewtopic.php?t=531
Súvisí s tým, o čom sme sa rozprávali na cviku - pri takomto výpočte inverznej matice viem robiť skúške nielen na konci, ale viem si spraviť skúšku aj pre jednotlivé medzivýsledky.

10. cvičenie: (3.12.)
Sústava rovníc, vyjadrenie množiny riešení. (Úlohy 5.7.3, 5.7.4).
Pre daný podpriestor nájsť homogénnu sústavu, ktorej množina riešení je presne tento podpriestor (viď. nižšie).
Počet riešení v závislosti od parametra. (Úloha 5.7.8)

1. Nájdite nejakú homogénnu sústavu rovníc so 4 neznámymi nad $\mathbb R$, ktorej riešením je daný podpriestor:
a) $S=[(1,4,0,1),(1,0,3,-3),(0,2,0,1)]$;
b) $S=[(1,-1,1,-2),(1,1,0,-1),(3,1,1,-4)]$.

(Takýto typ úlohy nie je v poznámkach k prednáške. Doplním v najbližšej verzii.)