Riešenie.Na $\newcommand{\R}{\mathbb R}\R\times\R$ definujme operáciu $\cdot$ takto: $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$. Dokážte, že operácia $\cdot$ je asociatívna a komutatívna. Nájdite jej neutrálny prvok. Nájdite tie prvky v $\R\times\R$, ku ktorým jestvuje inverzný prvok; určte tento inverzný prvok.
Je vcelku jasné, že ide skutočne o binárnu operáciu a že táto operácia je komutatívna.
Asociatívnosť. Pri overení asociatívnosti ide vlastne len o mechanické opakované použitie predpisu pre zadanú binárnu operáciu a jednoduché algebraické úpravy. Poďme ju však overiť detailne. Máme vlastne skontrolovať, či pre ľubovoľné reálne čísla $a,b,c,d,e,f\in\R$ platí
$$[(a,b)\cdot(c,d)]\cdot(e,f)=(a,b)\cdot[(c,d)\cdot(e,f)]$$
Upravujem najprv ľavú stranu tejto rovnosti.
$$\begin{multline*}
[(a,b)\cdot(c,d)]\cdot(e,f) =
(ac-bd,ad+bc)\cdot (e,f) = \\
((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e) = \\
(ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce)
\end{multline*}$$
Pre pravú stranu dostaneme
$$\begin{multline*}
(a,b)\cdot[(c,d)\cdot(e,f)] =
(a,b)\cdot(ce-df,cf+de) = \\
(a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df)) = \\
(ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf)
\end{multline*}$$
Vidíme, že tieto dva výrazy sa zhodujú. (Sú tam presne rovnaké sčítance s rovnakými znamienkami, len v rôznom poradí.)
Neutrálny prvok. Chceme zistiť, či existuje taký prvok $(a,b)$, že pre ľubovoľné $(c,d)\in\R$ platí
$$\begin{align*}
(a,b)\cdot(c,d)&=(c,d)\\
(ac-bd,ad+bc)=(1,0)
\end{align*}$$
Dostávame teda dve rovnosti:
$$\begin{align*}
ac-bd&=c\\
ad+bc&=d
\end{align*}$$
Tie dve rovnosti majú platiť pre ľubovoľné reálne čísla $c$ a $d$. Ak dosadíme $c=1$ a $d=0$, tak z prvej rovnosti máme $a=1$ a z druhej $b=0$. Teda jediný kandidát na neutrálny prvok je dvojica $(1,0)$. Dosadením môžeme skutočne overiť,že
$$(1,0)\cdot(c,d)=(c,d).$$
Teda $(1,0)$ je neutrálnym prvkom tejto operácie.
Inverzný prvok. Pýtame sa, či pre zadané $a,b\in\R$ existujú $c,d\in\R$ tak, aby platilo
\begin{align*}
(a,b)\cdot(c,d)&=(1,0)\\
(ac-bd,ad+bc)&=(1,0)
\end{align*}
To znamená, že má platiť
\begin{align*}
ac-bd&=1\\
ad+bc&=0
\end{align*}
Čísla $a$, $b$ považujeme za zadané, čísla $c$, $d$ chceme vyrátať.
Ide o pomerne jednoduchú sústavu rovníc. Ak sčítame $a$-násobok prvej rovnice s $b$-násobkom druhej, tak vypadnú členy obsahujúce $d$ a máme:
$$(a^2+b^2)c=a.$$
Podobne ak sčítame $a$-násobok druhej rovnice a $(-b)$-násobok prvej rovnice, tak máme:
$$(a^2+b^2)d=-b.$$
Teda za predpokladu, že $a^2+b^2\ne 0$ môžeme vyjadriť
$$\begin{align*}
c&=\frac{a}{a^2+b^2}\\
d&=-\frac{b}{a^2+b^2}
\end{align*}$$
Opäť sa môžeme dosadením presvedčiť, že toto je skutočne inverzný prvok k $(a,b)$:
$$(a,b)\cdot\left(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2}\right)=
\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2},\frac{-ab+ab}{a^2+b^2}\right)=(1,0).$$
Čo ale v prípade, že $a^2+b^2=0$? Najprv si uvedommme, že pre $a,b\in\R$ nastane rovnosť $a^2+b^2=0$ iba ak $a=b=0$. (Viete povedať prečo?)
Všimnime si, že platí
$$(0,0)(c,d)=(0,0).$$
Teda vynásobením dvojice $(0,0)$ akýmkoľvek prvkom nemôžeme dostať $(1,0)$. Pre tento prvok teda neexistuje inverzný prvok.