msleziak.com

Martin Sleziak wrote:Úloha 2.4. Overte, či množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.

Na to, aby sme zistili, či je daná množina s touto binárnou operáciou grupa, musíme zisiť či platí asociatívnosť, obsahuje neutrálny prvok a každý prvok má aj inverzný.

a) asociatívnosť.
$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$
$(a+b-1)+c-1=a+(b+c-1)-1$
$a+b+c-2=a+b+c-2$
Týmto sme dokázali, že bin.op. je asociatívna.

b) Neutrálny prvok e.
Podľa definície, keď spravíme $a\ast e$ tak výsledok by mal byť $a$. Preto $a+e-1=a \Rightarrow e=1$

c) Inverzný prvok. Podľa definície, každý prvok má mať inverzný, a keď spravíme medzi nimi bin.op., tak dostaneme neutrálny prvok.
$a\ast b=e$
$a\ast b=1$
$a+b-1=1$
Z tejto rovnosti nám vyplýva, že inverzný prvok k $a$ bude $(-a)+2$

Daná binárna operácia na množine R je grupa.

d)* Ešte môžme zistiť, či grupa je aj komutatívna.
$a\ast b=b\ast a$
$a+b-1=b+a-1$
$a+b-1=a+b-1$
Keďže $+$ je komutatívna, tak platí že $b+a$ môžme prehodiť aj ako $a+b$

V podstate ok - značím si jeden bod.

Ale aj tak mám nejaké pripomienky.

adrianmatejov wrote: b) Neutrálny prvok e.
Podľa definície, keď spravíme $a\ast e$ tak výsledok by mal byť $a$. Preto $a+e-1=a \Rightarrow e=1$

Keby som chcel byť veľmi prísny, tak tu by som sa mohol tváriť, že zatiaľ ste iba ukázali: "Ak existuje nejaký neutrálny prvok, tak to musí byť jednotka." A mali by ste ešte skontrolovať, či jednotka naozaj je neutrálny prvok.
Malo by však byť celkom jasné, že implikácia, ktorú ste tu napísali, sa dá aj otočiť.

(BTW implikácia sa dá napísať ako \Rightarrow $\Rightarrow$ alebo \implies $\implies$ - oboje vyzerá o čosi lepšie ako =>, čo je dôvod, prečo som to vo Vašom poste zeditoval

adrianmatejov wrote: c) Inverzný prvok. Podľa definície, každý prvok má mať inverzný, a keď spravíme medzi nimi bin.op., tak dostaneme neutrálny prvok.
$a\ast b=e$
$a\ast b=1$
$a+b-1=1$
Z tejto rovnosti nám vyplýva, že inverzný prvok k $a$ bude $(-a)+2$

Tu by som mohol mať rovnakú pripomienku ako pri neutrálnom prvku. Ak sa budeme tváriť, že medzi uvedenými riadkami sú ekvivalencie (a tak to asi aj bolo myslené), tak je to úplne v poriadku.

adrianmatejov wrote: d)* Ešte môžme zistiť, či grupa je aj komutatívna.
$a\ast b=b\ast a$
$a+b-1=b+a-1$
$a+b-1=a+b-1$
Keďže $+$ je komutatívna, tak platí že $b+a$ môžme prehodiť aj ako $a+b$

A posledná pripomienka sa týka toho, že možno sme mali najprv overiť, že daná binárna operácia je komutatívna.
Alebo ak komutatívnosť ignorujeme, tak pri neutrálnom a inverznom prvku overovať obe poradia.
(Je mi jasné, že tu komutatívnosť vidno ľahko. Ale možno by sa oplatilo povedať pri hľadaní neutrálneho a inverzného prvku, že toto je dôvod, prečo vlastne stačilo overovať iba jednu časť definície.)

Pridám ešte linku na riešenie tej istej úlohy z minula: viewtopic.php?t=314
Tam je popísané aj niečo o tom, ako sa dá na tú úlohu pozerať trochu iným spôsobom.
Do istej miery niečo podobné je aj tu: viewtopic.php?f=29&t=495