Písomky na výberovom cviku 1PMA (ZS 2015/16)
Posted: Fri Oct 09, 2015 1:57 pm
Zadanie prvej písomky:
Skupina A
1. Nájdite všetky riešenia danej sústavy. (Môžete využívať akúkoľvek metódu. Jasne vyznačte všetky riešenia.)
$$\begin{align*}
2x_1+x_2+x_3&=3\\
x_1+2x_2+x_3&=4\\
x_1+x_2+2x_3&=1
\end{align*}$$
2. a) Napíšte definíciu injektívneho zobrazenia.
b) Platí nasledujúce tvrdenie? Ak áno, dokážte ho, ak nie, nájdite kontrapríklad: Ak $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to Z$ sú zobrazenia také, že $g\circ f$ je injekcia, tak $g$ je injekcia.
Skupina B
Nájdite všetky riešenia danej sústavy. (Môžete využívať akúkoľvek metódu. Jasne vyznačte všetky riešenia.)
\begin{align*}
2x_1+x_2+x_3&=4\\
x_1+x_2+x_3&=2\\
x_1+2x_2+3x_3&=1
\end{align*}
2. a) Napíšte definíciu surjektívneho zobrazenia.
b) Platí nasledujúce tvrdenie? Ak áno, dokážte ho, ak nie, nájdite kontrapríklad: Ak $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to Z$ sú zobrazenia také, že $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
Časom možno napíšem na fórum niečo aj k riešeniam a k chybám, ktoré sa vyskytovali. (Podľa toho, či sa mi bude podľa vašich riešením písomky zdať, že je treba nejaké komentáre.)
Príklad zo skupiny B na zobrazenia sa vyskytol na písomke aj minulý semester:
viewtopic.php?t=493
(Na príklad zo skupiny A sa dá použiť presne ten istý kontrapríklad.)
EDIT: Niečo k riešeniu úlohy o injekciách som dal sem: viewtopic.php?t=735
Ak si chcete pozrieť iné príklady z týchto úvodných tém, ktoré sa vyskytli na písomkách minulý rok, tak sa môžete pozrieť sem:
viewtopic.php?t=484
viewtopic.php?t=496
Sústavy
V oboch skupinách bola zadaná sústava, ktorá má práve jedno riešenie.
Pre sústavu sa ľahko dá urobiť skúška správnosti - stačí dosadiť hodnoty do pôvodnej sústavy. Čiže kto mal na písomke čas, tak si mohol overiť, či jeho výsledok vyhovuje zadanej sústave. (Zdá sa, že niektorí ste si skúšku neurobili.)
V skupine A: $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-1$.
V skupine B: $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.
Skupina A
1. Nájdite všetky riešenia danej sústavy. (Môžete využívať akúkoľvek metódu. Jasne vyznačte všetky riešenia.)
$$\begin{align*}
2x_1+x_2+x_3&=3\\
x_1+2x_2+x_3&=4\\
x_1+x_2+2x_3&=1
\end{align*}$$
2. a) Napíšte definíciu injektívneho zobrazenia.
b) Platí nasledujúce tvrdenie? Ak áno, dokážte ho, ak nie, nájdite kontrapríklad: Ak $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to Z$ sú zobrazenia také, že $g\circ f$ je injekcia, tak $g$ je injekcia.
Skupina B
Nájdite všetky riešenia danej sústavy. (Môžete využívať akúkoľvek metódu. Jasne vyznačte všetky riešenia.)
\begin{align*}
2x_1+x_2+x_3&=4\\
x_1+x_2+x_3&=2\\
x_1+2x_2+3x_3&=1
\end{align*}
2. a) Napíšte definíciu surjektívneho zobrazenia.
b) Platí nasledujúce tvrdenie? Ak áno, dokážte ho, ak nie, nájdite kontrapríklad: Ak $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to Z$ sú zobrazenia také, že $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
Časom možno napíšem na fórum niečo aj k riešeniam a k chybám, ktoré sa vyskytovali. (Podľa toho, či sa mi bude podľa vašich riešením písomky zdať, že je treba nejaké komentáre.)
Príklad zo skupiny B na zobrazenia sa vyskytol na písomke aj minulý semester:
viewtopic.php?t=493
(Na príklad zo skupiny A sa dá použiť presne ten istý kontrapríklad.)
EDIT: Niečo k riešeniu úlohy o injekciách som dal sem: viewtopic.php?t=735
Ak si chcete pozrieť iné príklady z týchto úvodných tém, ktoré sa vyskytli na písomkách minulý rok, tak sa môžete pozrieť sem:
viewtopic.php?t=484
viewtopic.php?t=496
Sústavy
V oboch skupinách bola zadaná sústava, ktorá má práve jedno riešenie.
Pre sústavu sa ľahko dá urobiť skúška správnosti - stačí dosadiť hodnoty do pôvodnej sústavy. Čiže kto mal na písomke čas, tak si mohol overiť, či jeho výsledok vyhovuje zadanej sústave. (Zdá sa, že niektorí ste si skúšku neurobili.)
V skupine A: $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-1$.
V skupine B: $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.