msleziak.com

Jedna z prednáškových úloh bola:

Nech $G$ je komutatívna grupa a $H$ je jej podgrupa. Dokážte, že predpis, ktorý $g\in G$ priradí $[g]\in G/H$ definuje epimorfizmus $p \colon G \to G/H$ ($p$ sa volá kanonická projekcia grupy $G$ na faktorovú grupy $G/H$). Čo je $\ker p$?

Zdá sa, že táto úloha tiež robila problémy. Poďme sa pozrieť na veci, ktoré chceme ukázať o zobrazení $p(g)=[g]$.

$p$ je zobrazenie
Toto by malo byť zrejmé ale predsa sa skúsme pozrieť na to, že: každému prvku $g\in G$ sme priradili práve jeden prvok grupy $G/H$, konkrétne triedu $[g]$.

$p$ je homomorfizmus
$$p(g_1+g_2) \overset{(1)}= [g_1+g_2] \overset{(2)}= [g_1]+[g_2] \overset{(3)}= p(g_1)+p(g_2)$$
Zdôvodnenie jednotlivých rovností:
(1) aj (3) dostaneme priamo z definície zobrazenia $p$.
(2) vyplýva z toho, ako je definovaná operácia na faktorovej grupe.

$p$ je surjektívne zobrazenia
Chceme overiť, či každý prvok z $G/H$ má nejaký vzor. Prvky faktorovej grupy $G/H$ sú triedy ekvivalencie, teda každý prvok je rovný triede $[g]$ pre nejaké $g\in G$. Ale vzor pre triedu $[g]$ je priamo prvok $g$, pretože $p(g)=[g]$.

$\ker p=H$
Pýtame sa, ktoré prvky sa zobrazením $p$ zobrazia na neutrálny prvok. Neutrálny prvok vo faktorovej grupe $G/H$ je trieda $[0]$.
Máme $p(g)=[0]$ $\Leftrightarrow$ $[g]=[0]$ $\Leftrightarrow$ $g\sim 0$ $\Leftrightarrow$ $g-0\in H$ $\Leftrightarrow$ $g\in H$.
Teda do jadra patria práve prvky z $H$.
(Dôkaz, ktorý sme práve urobili, by mali byť veľmi podobný na dôkaz toho, že trieda nuly vo faktorovej grupe $G/H$ je práve podgrupa $H$, t.j. $[0]=H$.)