Úloha 1.7.8(10) - mocniny a indukcia
Posted: Wed Oct 14, 2015 4:12 pm
Jedna z prednáškových úloh bola:
Jeden z problémov možno je, že nie je jasné, čo sa od vás vlastne chce. Ide v princípe len o cvičenie na matematickú indukciu. (Čo je dôkazová technika, ktorú sa oplatí mať zvládnutú.) Takže je to dobré na precvičenia matematickej indukcie.
A tiež je táto úloha možno užitočná z toho dôvodu, že si možno pri tom uvedomíte, že tieto tvrdenia síce možno vyzerajú na prvý pohľad samozrejme, ale keď sa rozprávame o tom, že pracujeme všeobecne v okruhoch, tak možno nie všetky veci, čo platia pre reálne čísla, budú platiť aj tu. A na tomto príklade si môžete rozmyslieť, ktoré vlastnosti okruhu sme využili.
Dôkaz matematickou indukciou
Poďme teda skúsiť dokazovať jednotlivé tvrdenia.
Tvrdenie 1. Ak $a,b\in R$, kde $R$ je komutatívny okruh s jednotkou a $a^n$ je definované uvedeným spôsobom, tak platí
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n.$$
Dôkaz: Skúsime tvrdenie dokazovať indukciou na $n$.
$1^\circ$ Pre $n=0$ máme $(a\cdot b)^0=1$ a $a^0\cdot b^0=1\cdot1=1$, teda v tomto prípade tvrdenie platí.
(To by sme už nemuseli robiť, ale môžeme sa pozrieť aj na $n=1$. Vtedy dostaneme $(a\cdot b)^1=a\cdot b=a^1\cdot b^1$.)
$2^\circ$ Indukčný krok: Predpokladajme, že uvedené tvrdenie platí pre $n$ a pokúsme sa ho dokázať pre $n+1$. Postupne dostaneme:
$$(a\cdot b)^{n+1}\overset{(1)}=
(a\cdot b)^n\cdot(a\cdot b)\overset{(2)}=
(a^n\cdot b^n)\cdot(a\cdot b)\overset{(3)}=
a^n\cdot (b^n\cdot a)\cdot b\overset{(4)}=
a^n\cdot (a\cdot b^n)\cdot b\overset{(5)}=
(a^n\cdot a)\cdot (b^n\cdot b)\overset{(6)}=
a^{n+1}\cdot b^{n+1}
$$
Možno som to rozpisoval zbytočne podrobne. (Mohol som azda rovno vynechávať zátvorky - keďže pracujeme s asociatívnou operáciou.)
Každopádne by ste mali byť schopný pre rovnosti označené (1) až (6) povedať, čo sme tam použili. (Nepoužívali sme nič iné, iba vlastnosti násobenia v okruhu, indukčný predpoklad a definíciu $(n+1)$-vej mocniny.)
Ak sa niekomu z vás chce môžete sem skúsiť napísať, čo presne sme využili v jednotlivých krokoch - tým si overíte, či vám je tento postup skutočne jasný.
$\square$
Skúsme sa pozrieť na druhú úlohu, kde vystupuje iba prvok $a$.
Tvrdenie 2. Ak $a\in R$, kde $R$ je komutatívny okruh s jednotkou a $a^n$ je definované uvedeným spôsobom, tak platí
$$(a^m)^n=a^{mn}.$$
Opäť to chceme dokazovať indukciou. Na prvý pohľad možno nie je jasné, či to pôjde ľahšie, ak to skúsime indukciou na $n$ alebo indukciou na $m$. (Alebo či to pôjde oboma spôsobmi.) Skúsme indukciu na $n$
Dôkaz:
$1^\circ$ Pre $n=0$ aj $n=1$ tvrdenie platí. (V prvom prípade dostaneme rovnosť $1=1$, v druhom prípade $a^m=a^m$.)
$2^\circ$ Indukčný krok: Predpokladáme, že tvrdenie platí pre $n$ (a pre ľubovoľné $m$). Chceme dokázať, že platí aj pre $n+1$
$$(a^m)^{n+1}\overset{(1)}=
(a^m)^n\cdot a^m\overset{(2)}=
a^{mn}\cdot a^m\overset{(*)}=
a^{mn+m}\overset{(3)}=
a^{m(n+1)}
$$
Rovnosť $(a^m)^{n+1}=a^{m(n+1)}$ je presne dokazované tvrdenie pre $(n+1)$ namiesto $n$. Týmto by bol dôkaz hotový, až na to, že zatiaľ nevieme zdôvodniť rovnosť označenú $(*)$. Tá vyplýva z nasledujúcej lemy. (Čiže správnejšie by bolo toto riešenie odprezentovať tak, že by sme najprv dokázali lemu a až potom tvrdenie 2. Chcel som ale ukázať to, že pri dôkaze tvrdenia 2 prídeme na to, že takéto pomocné tvrdenie potrebujeme.)
$\square$
Lema. Ak $a\in R$, kde $R$ je komutatívny okruh s jednotkou a $a^n$ je definované uvedeným spôsobom, tak platí
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$$
Dôkaz: Indukciou na $n$.
$1^\circ$ Pre $n=0$ uvedená rovnosť platí: $a^m\cdot a^0 = a^m\cdot 1 = a^m = a^{m+0}$.
$2^\circ$ Indukčný krok. Predpokladáme platnosť pre $n$ a chcem skontrolovať, či to platí aj pre $n+1$.
$$a^m\cdot a^{n+1}\overset{(1)}=
a^m \cdot a^n \cdot a \overset{(2)}=
a^{m+n} \cdot a \overset{(3)}=
a^{m+n+1}
$$
Zistili sme, že dokazovaná rovnosť platí aj pre $(n+1)$.
$\square$
Opäť si môžete rozmyslieť, čo presne sme v dôkaze tohoto tvrdenia a aj lemy za ním použili v jednotlivých krokoch.
Bonusová otázka: Bolo treba niekde použiť v dôkaze tvrdenia 2 komutatívnosť?
Treba takéto niečo vôbec dokazovať?
Mohli by sme si povedať, že či by nefungoval takýto argument. Označenie $a^n$ vlastne znamená
$$a^n=\underset{\text{$n$-krát}}{\underbrace{a\cdot a \cdots a}},$$
t.j. je to iba súčin $n$ rovnakých prvkov. Ak mám $(a^m)^n$, tak vlastne mám
$$\underset{\text{$n$-krát}}{\underbrace{a^m\cdot a^m \cdots a^m}},$$
čo si môžem predstaviť ako $n$ zátvoriek, z ktorých každá obsahuje prvok $a$ práve $m$-krát. Spolu tam mám tento prvok $mn$-krát, teda je to $a^{mn}$.
(Keďže ide o asociatívnu operáciu, tak zátvorky môžeme vynechávať.)
Toto by bol dobrý (ale nie úplne formálny) argument. Ale nie je na škodu občas si vyskúšať niečo dokázať naozaj od základov.
A keď sa pozriete na veci na prednáške, tak tam bežne používate podobné veci. Napríklad sa občas môže vyskytnúť takáto rovnosť:
$$\alpha(\vec a_1+\dots+\vec a_n)=\alpha\vec a_1+\dots+\alpha\vec a_n$$
kde $\alpha$ je skalár a $\vec a_1,\dots,\vec a_n$ sú vektory.
Prísne vzaté, keby z definície vektorového priestoru vieme, že táto rovnosť platí pre $n=2$. (A pre $n=1$ je triviálna.) Ak ju chceme používať pre ľubovoľné $n$, mali by sme ju dokázať (zrejme indukciou).
Predpokladá sa však, že keď ste si už na pár cvičeniach (ako napríklad na tejto úlohe) odskúšali ako takéto tvrdenia dokazovať, vedeli by ste napríklad dokázať aj uvedenú rovnosť pre vektory.
A takisto ide o jednoduché tvrdenia, ktorých platnosť je zrejmá takmer na prvý pohľad - čiže dokazovať detailne každé z nich by asi nebolo veľmi efektívne využitie času. (Aj keď uvedomiť si, akú vlastnosť z definície vektorového priestoru na tom mieste používame, azda nie je na škodu.)
Na cviku sme sa k nej dostať nestihli. Keď som sa potom pozrel na zoznam úloh, ktoré ste vedeli vyriešiť, tak sa zdá, že toto bola jedna z problematických.Pre každý prvok komutatívneho okruhu $R$ s jednotkou $1$ definujme jeho $n$-tú ($n\in\mathbb N$) definujeme $n$-tú odmocninu induktívne: $a^0=1$, $a^n=a^{n-1}\cdot a$. Dokážte, že
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n, \qquad (a^m)^n=a^{mn}$$
pre všetky $a,b\in R$ a všetky $m,n\in\mathbb N\cup\{0\}$. Vyrátajte $(-1)^n\cdot a$ pre $a\in R$.
Jeden z problémov možno je, že nie je jasné, čo sa od vás vlastne chce. Ide v princípe len o cvičenie na matematickú indukciu. (Čo je dôkazová technika, ktorú sa oplatí mať zvládnutú.) Takže je to dobré na precvičenia matematickej indukcie.
A tiež je táto úloha možno užitočná z toho dôvodu, že si možno pri tom uvedomíte, že tieto tvrdenia síce možno vyzerajú na prvý pohľad samozrejme, ale keď sa rozprávame o tom, že pracujeme všeobecne v okruhoch, tak možno nie všetky veci, čo platia pre reálne čísla, budú platiť aj tu. A na tomto príklade si môžete rozmyslieť, ktoré vlastnosti okruhu sme využili.
Dôkaz matematickou indukciou
Poďme teda skúsiť dokazovať jednotlivé tvrdenia.
Tvrdenie 1. Ak $a,b\in R$, kde $R$ je komutatívny okruh s jednotkou a $a^n$ je definované uvedeným spôsobom, tak platí
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n.$$
Dôkaz: Skúsime tvrdenie dokazovať indukciou na $n$.
$1^\circ$ Pre $n=0$ máme $(a\cdot b)^0=1$ a $a^0\cdot b^0=1\cdot1=1$, teda v tomto prípade tvrdenie platí.
(To by sme už nemuseli robiť, ale môžeme sa pozrieť aj na $n=1$. Vtedy dostaneme $(a\cdot b)^1=a\cdot b=a^1\cdot b^1$.)
$2^\circ$ Indukčný krok: Predpokladajme, že uvedené tvrdenie platí pre $n$ a pokúsme sa ho dokázať pre $n+1$. Postupne dostaneme:
$$(a\cdot b)^{n+1}\overset{(1)}=
(a\cdot b)^n\cdot(a\cdot b)\overset{(2)}=
(a^n\cdot b^n)\cdot(a\cdot b)\overset{(3)}=
a^n\cdot (b^n\cdot a)\cdot b\overset{(4)}=
a^n\cdot (a\cdot b^n)\cdot b\overset{(5)}=
(a^n\cdot a)\cdot (b^n\cdot b)\overset{(6)}=
a^{n+1}\cdot b^{n+1}
$$
Možno som to rozpisoval zbytočne podrobne. (Mohol som azda rovno vynechávať zátvorky - keďže pracujeme s asociatívnou operáciou.)
Každopádne by ste mali byť schopný pre rovnosti označené (1) až (6) povedať, čo sme tam použili. (Nepoužívali sme nič iné, iba vlastnosti násobenia v okruhu, indukčný predpoklad a definíciu $(n+1)$-vej mocniny.)
Ak sa niekomu z vás chce môžete sem skúsiť napísať, čo presne sme využili v jednotlivých krokoch - tým si overíte, či vám je tento postup skutočne jasný.
$\square$
Skúsme sa pozrieť na druhú úlohu, kde vystupuje iba prvok $a$.
Tvrdenie 2. Ak $a\in R$, kde $R$ je komutatívny okruh s jednotkou a $a^n$ je definované uvedeným spôsobom, tak platí
$$(a^m)^n=a^{mn}.$$
Opäť to chceme dokazovať indukciou. Na prvý pohľad možno nie je jasné, či to pôjde ľahšie, ak to skúsime indukciou na $n$ alebo indukciou na $m$. (Alebo či to pôjde oboma spôsobmi.) Skúsme indukciu na $n$
Dôkaz:
$1^\circ$ Pre $n=0$ aj $n=1$ tvrdenie platí. (V prvom prípade dostaneme rovnosť $1=1$, v druhom prípade $a^m=a^m$.)
$2^\circ$ Indukčný krok: Predpokladáme, že tvrdenie platí pre $n$ (a pre ľubovoľné $m$). Chceme dokázať, že platí aj pre $n+1$
$$(a^m)^{n+1}\overset{(1)}=
(a^m)^n\cdot a^m\overset{(2)}=
a^{mn}\cdot a^m\overset{(*)}=
a^{mn+m}\overset{(3)}=
a^{m(n+1)}
$$
Rovnosť $(a^m)^{n+1}=a^{m(n+1)}$ je presne dokazované tvrdenie pre $(n+1)$ namiesto $n$. Týmto by bol dôkaz hotový, až na to, že zatiaľ nevieme zdôvodniť rovnosť označenú $(*)$. Tá vyplýva z nasledujúcej lemy. (Čiže správnejšie by bolo toto riešenie odprezentovať tak, že by sme najprv dokázali lemu a až potom tvrdenie 2. Chcel som ale ukázať to, že pri dôkaze tvrdenia 2 prídeme na to, že takéto pomocné tvrdenie potrebujeme.)
$\square$
Lema. Ak $a\in R$, kde $R$ je komutatívny okruh s jednotkou a $a^n$ je definované uvedeným spôsobom, tak platí
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$$
Dôkaz: Indukciou na $n$.
$1^\circ$ Pre $n=0$ uvedená rovnosť platí: $a^m\cdot a^0 = a^m\cdot 1 = a^m = a^{m+0}$.
$2^\circ$ Indukčný krok. Predpokladáme platnosť pre $n$ a chcem skontrolovať, či to platí aj pre $n+1$.
$$a^m\cdot a^{n+1}\overset{(1)}=
a^m \cdot a^n \cdot a \overset{(2)}=
a^{m+n} \cdot a \overset{(3)}=
a^{m+n+1}
$$
Zistili sme, že dokazovaná rovnosť platí aj pre $(n+1)$.
$\square$
Opäť si môžete rozmyslieť, čo presne sme v dôkaze tohoto tvrdenia a aj lemy za ním použili v jednotlivých krokoch.
Bonusová otázka: Bolo treba niekde použiť v dôkaze tvrdenia 2 komutatívnosť?
Treba takéto niečo vôbec dokazovať?
Mohli by sme si povedať, že či by nefungoval takýto argument. Označenie $a^n$ vlastne znamená
$$a^n=\underset{\text{$n$-krát}}{\underbrace{a\cdot a \cdots a}},$$
t.j. je to iba súčin $n$ rovnakých prvkov. Ak mám $(a^m)^n$, tak vlastne mám
$$\underset{\text{$n$-krát}}{\underbrace{a^m\cdot a^m \cdots a^m}},$$
čo si môžem predstaviť ako $n$ zátvoriek, z ktorých každá obsahuje prvok $a$ práve $m$-krát. Spolu tam mám tento prvok $mn$-krát, teda je to $a^{mn}$.
(Keďže ide o asociatívnu operáciu, tak zátvorky môžeme vynechávať.)
Toto by bol dobrý (ale nie úplne formálny) argument. Ale nie je na škodu občas si vyskúšať niečo dokázať naozaj od základov.
A keď sa pozriete na veci na prednáške, tak tam bežne používate podobné veci. Napríklad sa občas môže vyskytnúť takáto rovnosť:
$$\alpha(\vec a_1+\dots+\vec a_n)=\alpha\vec a_1+\dots+\alpha\vec a_n$$
kde $\alpha$ je skalár a $\vec a_1,\dots,\vec a_n$ sú vektory.
Prísne vzaté, keby z definície vektorového priestoru vieme, že táto rovnosť platí pre $n=2$. (A pre $n=1$ je triviálna.) Ak ju chceme používať pre ľubovoľné $n$, mali by sme ju dokázať (zrejme indukciou).
Predpokladá sa však, že keď ste si už na pár cvičeniach (ako napríklad na tejto úlohe) odskúšali ako takéto tvrdenia dokazovať, vedeli by ste napríklad dokázať aj uvedenú rovnosť pre vektory.
A takisto ide o jednoduché tvrdenia, ktorých platnosť je zrejmá takmer na prvý pohľad - čiže dokazovať detailne každé z nich by asi nebolo veľmi efektívne využitie času. (Aj keď uvedomiť si, akú vlastnosť z definície vektorového priestoru na tom mieste používame, azda nie je na škodu.)