Úloha 2.1.18(14) - podpriestory $(\mathbb Z_5)^4$
Posted: Wed Oct 21, 2015 4:13 pm
Jediná PÚ, ktorú sme nestihli, bola:
Vo všetkých ostatných častiach je odpoveď i zdôvodnenie rovnaké ako pre $\mathbb R$. Iba v tomto prípade to bude trochu inak:
$$D=\{(x_1,x_2,x_3)\in(\mathbb Z_5)^3; x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\}.$$
Pripomeniem, že keď sme riešili úlohu pre pole $\mathbb R$, tak sme zistili, že $x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$ $\Leftrightarrow$ $x_1=x_2=x_3=0$. Teda v tomto prípade išlo o podpriestor obsahujúci iba nulový vektor. (Pripomeniem, že vieme, že ak $V$ je ľubovoľný podpriestor, tak $\{\vec0\}$ aj $V$ sú podpriestory tohoto priestoru.)
Ako uvidíme, v prípade poľa $\mathbb Z_5$ je to inak.
Skúsme sa najprv pozrieť na to, ako vyzerajú druhé mocniny, keď počítame modulo $5$:
$0^2=0$
$1^2=4^2=1$
$2^2=3^2=4$
(Ak si uvedomíte, že v každom poli platí $a^2=(-a)^2$, tak by vás nemalo prekvapiť, že $4=-1$ má rovnakú druhú mocninu ako $1$. Podobne pre dvojicu navzájom opačných prvkov $2$ a $3$.)
Ako druhé mocniny sa teda v $\mathbb Z_5$ vyskytujú iba čísla $0$, $1$ a $4$. (Ak to zjednoduší výpočty, môžeme sa na ne pozerať aj ako na $0$, $1$ a $-1$.)
Vieme súčtom nejakých troch z týchto čísel dostať nulu?
Triviálna možnosť je $0=0+0+0$.
Ďalšia možnosť je $0=0+1+4$.
(Existujú nejaké ďalšie možnosti, ktoré by sa od týchto dvoch líšili nejako inak, než iba výmenou sčítancov?)
Do $D$ teda patria napríklad tieto prvky: $(0,0,0)$, $(0,1,2)$, $(0,4,2)$, $(0,2,1)$, $(3,0,4)$, $(1,0,2)$ (a veľa ďalších; môžete si skúsiť ešte zopár vypísať).
Ak sa nám podarí nájsť nejaké dva vektory z $D$, ktorých súčet do $D$ už nepatrí, tak $D$ nie je podpriestor. Vedeli by ste nájsť také vektory?
Na tomto mieste už môžeme riešenie skončiť. Zistili sme, že neplatí jedna z podmienok uvedených v kritériu vektorového podpriestoru. Takže $D$ nie je podpriestor priestoru $(\mathbb Z_5)^3$.
Aj tak sa - len tak zo zvedavosti - môžeme zamyslieť nad tou druhou podmienkou.
Ak sa nám podarí nájsť nejaký skalár $\alpha\in\mathbb Z_5$ a vektor $\vec v\in D$ také, že $\alpha\vec v\notin D$, tak $D$ nie je podpriestor. Dali by sa nájsť také príklady? Alebo táto druhá podmienka bude splnená?
V tej úlohe ide o zistenie, či nejaká daná množina je podpriestorom $(\mathbb Z_5)^4$.Ako sa zmení riešenie úlohy 2.1.18(13), ako pole $\mathbb R$ nahradíme $\mathbb Z_5$?
Vo všetkých ostatných častiach je odpoveď i zdôvodnenie rovnaké ako pre $\mathbb R$. Iba v tomto prípade to bude trochu inak:
$$D=\{(x_1,x_2,x_3)\in(\mathbb Z_5)^3; x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\}.$$
Pripomeniem, že keď sme riešili úlohu pre pole $\mathbb R$, tak sme zistili, že $x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$ $\Leftrightarrow$ $x_1=x_2=x_3=0$. Teda v tomto prípade išlo o podpriestor obsahujúci iba nulový vektor. (Pripomeniem, že vieme, že ak $V$ je ľubovoľný podpriestor, tak $\{\vec0\}$ aj $V$ sú podpriestory tohoto priestoru.)
Ako uvidíme, v prípade poľa $\mathbb Z_5$ je to inak.
Skúsme sa najprv pozrieť na to, ako vyzerajú druhé mocniny, keď počítame modulo $5$:
$0^2=0$
$1^2=4^2=1$
$2^2=3^2=4$
(Ak si uvedomíte, že v každom poli platí $a^2=(-a)^2$, tak by vás nemalo prekvapiť, že $4=-1$ má rovnakú druhú mocninu ako $1$. Podobne pre dvojicu navzájom opačných prvkov $2$ a $3$.)
Ako druhé mocniny sa teda v $\mathbb Z_5$ vyskytujú iba čísla $0$, $1$ a $4$. (Ak to zjednoduší výpočty, môžeme sa na ne pozerať aj ako na $0$, $1$ a $-1$.)
Vieme súčtom nejakých troch z týchto čísel dostať nulu?
Triviálna možnosť je $0=0+0+0$.
Ďalšia možnosť je $0=0+1+4$.
(Existujú nejaké ďalšie možnosti, ktoré by sa od týchto dvoch líšili nejako inak, než iba výmenou sčítancov?)
Do $D$ teda patria napríklad tieto prvky: $(0,0,0)$, $(0,1,2)$, $(0,4,2)$, $(0,2,1)$, $(3,0,4)$, $(1,0,2)$ (a veľa ďalších; môžete si skúsiť ešte zopár vypísať).
Ak sa nám podarí nájsť nejaké dva vektory z $D$, ktorých súčet do $D$ už nepatrí, tak $D$ nie je podpriestor. Vedeli by ste nájsť také vektory?
Spoiler:
Aj tak sa - len tak zo zvedavosti - môžeme zamyslieť nad tou druhou podmienkou.
Ak sa nám podarí nájsť nejaký skalár $\alpha\in\mathbb Z_5$ a vektor $\vec v\in D$ také, že $\alpha\vec v\notin D$, tak $D$ nie je podpriestor. Dali by sa nájsť také príklady? Alebo táto druhá podmienka bude splnená?
Spoiler: