msleziak.com

Martin Sleziak wrote:
Úloha 4.3. Nech S, T sú pod-priestory vektorového priestoru V nad poľom F. Ukážte, že S∪T je pod-priestor priestoru V práve vtedy, keď S⊆T alebo T⊆S.

Je to ekvivalencia tak to budem dokazovať dvoma implikáciami.
1,)<=
S⊆T alebo T⊆S. tuto využijeme BUNV pretože ten druhy dôkaz T⊆S bude vyzerať rovnako.

S⊆T => Že všetky vektory z S patria do T.
S∪T => zoberieme všetky prvky z S a T a dáme ich dokopy. Keď S⊆T tak zjednotíme niektoré vektory čo patria do T a všetky vektory
čo patria do T => zjednotenie bude T (Môžme sa na to pozerať ako na zjednotenie množiny a jej pod-množiny čo je tá množina).

Keď S∪T=T z predpoklady nám vychádza že T je VPP a tak aj S∪T=T je VPP V.

2,)=> (Toto budem dokazovať sporom).
(x - znamená opak ⊆, čiže nie je podmnožinu.)

Negácia:Nech S, T sú pod-priestory vektorového priestoru V nad poľom F. Tak S⊆T je VPP a SxT a TxS.

SxT a TxS => že nemajú spoločne vektory. (*)
S VPP V => obsahuje určite nulový vektor 0.
(Odteraz budem označovať nulový vektor ako 0).
T VPP V => obsahuje určite nulový vektor 0.

Lenže podľa (*) nesmú mať žiaden spoločný vektor ale oni majú spoločný vektor a to je určite 0. Toto je SPOR.

LukasKiss wrote: (x - znamená opak ⊆, čiže nie je podmnožinu.)

Fakt, že S nie je podmnožinou T môžete zapísať $S\nsubseteq T$. Resp. z hocijakého symbolu môžete vytvoriť preškrtnutý symbol pridaním \not. (Niekedy to vyzerá lepšie, niekedy horšie.)
Napríklad $S\not\subset T$ alebo $S\not\subseteq T$. Zdá as, že vy preferujete unicode: Môžete skúsiť U+2284.

LukasKiss wrote: SxT a TxS => že nemajú spoločne vektory. (*)

Nie je pravda, že z $S\nsubseteq T$ a $T\nsubseteq S$ už vyplýva, že $S\cap T=\emptyset$. Kontrapríklad ľahko nájdete, ak si to vyskúšate pre nejaké konkrétne množiny.

(Dokážeme sporom.)

Negácia:Nech S, T sú pod-priestory vektorového priestoru V nad poľom F. Tak $S \cup T$ je VPP a $S\not\subseteq T$ a $T\not\subseteq S$.

u,v,z sú vektory.
$S\not\subseteq T$ => ($\exists u$) ($u\in S$) $\land$ ($u\not\in T$) (*)
$T\not\subseteq S$ => ($\exists v$) ($v\in T$) $\land$ ($v\not\in S$) (**)
$S \cup T$ => ($\forall z$) ($z\in S$) $\lor$ ($z\in T$) (***)

Určite vieme,že: $u,v\in S \cup T$.
Keď $S \cup T$ je VPP V, tak aj $u+v\in S \cup T$.
Ale naozaj tam patrí ?Kde presne ?
u+v môže patriť iba do týchto troch množim keď má patriť do $S \cup T$.
1. $S - S\cap T$
2. $T - S\cap T$
3. $S\cap T$

u+v nemôže určite do 1. lebo v nepatrí do S podľa (**).
u+v nemôže určite do 2. lebo u nepatrí do T. podľa (*).
u+v nemôže určite do 3. lebo u nepatrí do T (*) a v nepatrí do S (**) a keď sa pozreme na (***) tak u+v to nesplna.

Z tochto vyplýva, že $S \cup T$ nie je pod-priestor,lebo nesplna def.
A tu je SPOR lebo v predpoklade máme, že $S \cup T$ je podprestor.

LukasKiss wrote: $S \cup T$ => ($\forall z$) ($z\in S$) $\lor$ ($z\in T$) (***)

Tento zápis veľmi nedáva zmysel, ale zrejme ste chceli povadať niečo také ako
$z\in S\cup T \Leftrightarrow (z\in S) \lor z\in T$.

Tiež by ste mali vysveliť, čo su u a v.
V (*) a (**) máte niečo o existencii vektorov spĺňajúcich nejaké podmienky. Čiže ste si zrejme povedali, že vezmeme jeden vektor u vyhovujúci (*) a jeden vektor v vyhovujúci (**). A pokúsime sa dostať k sporu. (Toto je rozumný smer, ktorý by naozaj mohol viesť k cieľu?

LukasKiss wrote: u+v nemôže určite do 1. lebo v nepatrí do S podľa (**).
u+v nemôže určite do 2. lebo u nepatrí do T. podľa (*).
u+v nemôže určite do 3. lebo u nepatrí do T (*) a v nepatrí do S (**) a keď sa pozreme na (***) tak u+v to nesplna.

Ak je naozaj pravda to, čo píšete, tak vám úplne stačia prvé dva riadky. Ak skutočne viete zdôvodniť, že $u+v\notin S$ a $u+v\notin T$, tak máte $u+v\notin S\cup T$. A to už je spor.

Akurát by ste mohli vysvetliť, ako ste dospeli k záveru, že u+v nepatrí do S. (Argument prečo nepatrí do T bude zrejme podobný, lebo situácia je symetrická.)
V tom, čo ste napísali doteraz, zdôvodnenie tohoto nevidím.

áno vektory u,v sú vektory ktoré vyhovujú (*) a (**)
u+v nepatrí do S pretože:
Vieme, že $u\in S$ a $v\not\in S$.
Vyriešme aj toto sporom.
Povedzme,že:
$u+v = b, kde$ $b \in S$

Toto si si môžme upraviť ekvivaletnými upravami na:
$v = b+(-1)*u$ (1)

Vieme, že (-1)*u je inverzný k u, takže aj $(-1)*u \in S$
a vieme,že aj $b \in S$.
Tak poďla (1), keď sčítam dva prvky z rovnakého VPP S vide nám $v \in T$ a toto je spor lebo dva vektory z rovnakého VPP, keď sčítame tak nám nemôže výsť vektor z iného VPP.

$v=b+(−1)∗u (1)$ a toto by platilo len vtedy, keď $T\subseteq S$ ale predpoklade máme: $T\not\subseteq S$.
Takže to je SPOR.

ok značím si 1 bod

Skúsim nejako stručne zosumarizovať ten ťažší smer - lebo takto, keď to bolo na veľakrát opravované sa z toho je dosť ťažké vyznať. (Tie príklady na fóre majú za cieľ slúžiť aj ako pomôcka pre ostatných - nemalo by jediným zmyslom byť získať pár bodov navyše.)

Tá posledná časť dôkazu sporom ide teda takto.

Predpokladáme, že $S\cup T$ je podpriestor, a súčasne $S\nsubseteq T$ a $T\nsubseteq S$.
Tieto podmienky zaručia, že existuje nejaký vektor $\vec u\in S\setminus T$ a nejaký vektor $\vec v\in T\setminus S$.
Zoberme si nejakú dvojicu vektorov spĺňajúcu uvedené podmienky.
Potom vektor $\vec u+\vec v$ patrí do $S\cup T$, lebo $S\cup T$ je podpriestor (a teda je uzavretý na súčty).
Zo znamená, že $\vec u+\vec v$ patrí do $S$ alebo do $T$.
Ak $\vec u+\vec v\in S$, tak dostaneme $\vec v=(\vec u+\vec v)-\vec u\in S$. (Rozdiel dvoch vektorov z $S$ je opäť z $S$.)
Ak $\vec u+\vec v\in T$, tak prakticky rovnakým spôsobom dostaneme $\vec u\in T$.
V oboch prípadoch sme dostali spor (s predpokladom, že $\vec u\notin S$ a $\vec v\notin T$.)