Grupa
V skupine A bola takáto úloha:
Nech $G=(\mathbb R^+\times\mathbb R, \square)$. Pre každé $(a,b),(c,d)\in\mathbb R^+\times\mathbb R$ definujeme $(a,b)\square(c,d)=(2ac,b+d)$. Je $\square$ binárna operácia na množine $G$? Je $(G,\square)$ grupa? Je to komutatívna grupa?
Odpoveď je, že je to komutatívna grupa.
Táto úloha je vyriešená tu:
viewtopic.php?t=334
Úloha v skupine B bola veľmi podobná.
Komentáre k riešeniam
Niektorí z vás neoverili, či to je binárna operácia. V tomto prípade to vidno viac-menej okamžite, takže som za to body nestrhával. (Ale netreba zabudnúť na to. že aj toto je súčasťou definície grupy.)
Takisto hľadanie neutrálneho a inverzného prvku si zaslúži nejaký komentár. Niektorí ste si napísali podmienky, ktoré musí tento prvok spĺňať a z nich vám vyšlo, že pre neutrálny/inverzný prvok máte jedinú možnosť. Potom treba ale ešte skontrolovať, či tento prvok naozaj je neutrálny; resp. či všetky kroky vo vašom odvodení možno aj otočiť. (Opäť - je to niečo, za čo som nestrhával body. Ale je to vec, ktorú si treba uvedomiť. Bral som to tak, že aj ak ste to nenapísali do písomky, tak ste to mali rozmyslené.)
Teraz napíšem zopár vecí, ktoré sa vyskytli v písomkách a vysvetlím, prečo nie sú dobre. (Niekde som ich trošičku zmenil tak, aby som všade mohol hovoriť o operácii zo skupiny A.)
$(a,b)\square(c,d)=(2ac,b+d)$
$(b,a)\square(d,c)=(2bd,a+c)$
Operácia teda nie je komutatívna.
Keď overujem komutatívnosť vezmem si dva prvky z $G$ a mám porovnať, či $x\square y$ a $y\square x$ je to isté.
Keďže sú to dvojice, tak si nejako označím ich zložky, napríklad $x=(a,b)$, $y=(c,d)$. Potom chcem zistiť čí platí:
$(a,b)\square(c,d)=(c,d)\square(a,b)$.
Dá sa skontrolovať, že táto rovnosť platí.
Je to celkom iná podmienka ako
$(a,b)\square(c,d)=(b,a)\square(d,c)$.
Tu ste namiesto výmeny dvoch prvkov vymieňali ich súradnice.
$(1,0)\square(a,b)=(2a,b)$
Z toho vidíme, že operácia $\square$ nemá neutrálny prvok.
Týmto ste overili iba toľko, že $(1,0)$ nie je neutrálny prvok. Stále je v zadanej množine veľa ďalších prvkov, z ktorých niektorý by mohol byť neutrálny.
(A ako sa dá ľahko skontrolovať, prvok $(\frac12,0)$ je skutočne neutrálnym prvkom tejto operácie.)
$(a,b)\cdot((c,d)\cdot(e,f))=((a,b)\cdot(c,d))\cdot(e,f)$
$2ac(b+d\cdot(e,f))=(2ac\cdot(b+d))(e,f)$
$2ac(bef\cdot def))=(2acb+2acd)(e,f)$
$2acbef\cdot 2acdef=2acbef+2acdef$
Operácia je asociatívna.
Do istej miery vás asi mohlo popliesť aj to, že ste is operáciu označovali $\cdot$ namiesto $\square$ a potom sa vám to mohlo mýliť s obvyklým násobením.
Ale to, že pri tomto odvodení je nejaký problém, ste si mohli uvedomiť aj na základe toho, že ako vysledok ste nedostali prvok z $G$. (Dostali ste číslo, nie usporiadanú dvojicu.)
Navyše ste na základe tohoto výpočtu prehlásili, že operácia je asociatívna, hoci na ľavej a pravej strane vám vyšiel iný výsledok.
Aj tu je problém pri overovaní asociatívnosti:
$(a\square b)\square c=a(\square b\square c)$
$(2ab,a+bc)\square c=a\square(2bc,b+c)$
Tu ste nepoužili správne definíciu operácia $\square$. Dokonca nie je úplne jasné, čo by mali uvedené výrazy znamenať.
$a$, $b$ aj $c$ by mali byť prvky z $G$, teda usporiadané dvojice. Čo rozumiete pod zápisom $2ab$; čo je súčin dvoch usporiadaných dvojíc?
Hlavný problém je ale v tom, že operácia $\square$ nebola definovaná takto. Ak chcem napísať $a\square b$, tak $a$ aj $b$ majú byť usporiadané dvojice. Tu ste s nimi robili, ako keby to boli čísla. (A navyše ste s nimi robili niečo úplne iné než je napísané v definície tejto binárnej operácie.)
Asociatívnosť a komutatívnosť platí pre násobenie aj sčitovanie, teda aj pre ich kombináciu.
Toto je veľmi odvážne tvrdenie; určite nie je pravde, že akokoľvek skombinujem sčitovanie a násobenie, tak dostanem asociatívnu operáciu.
Napríklad operácia $a*b=\frac{a+b}2$ na množine $\mathbb R$ nie je asociatívna: $(0*0)*1=\frac12$, ale $0*(0*1)=\frac14$.
Takisto operácia $a*b=ab^2$ na množine $\mathbb R$ nie je asociatívna: $(1*1)*2=1*2=4$, ale $1*(1*2)=1*4=16$.
Aby sme skúsili niečo na $\mathbb R^2$ (nech sa to viac podobá na úlohu z písomky), tak vyskúšajme $(a,b)*(c,d)=(ac+d,bd)$. Pre túto operáciu dostaneme
$(0,0)*((0,2)*(0,1))=(0,0)*(1,2)=(2,0)$
$((0,0)*(0,2))*(0,1)=(2,0)*(0,1)=(1,0)$
Teda ani táto operácia nie je asociatívna.