msleziak.com

Sú $1,t,t^2,t^3\in\mathbb R[t]$ lineárne nezávislé?
Sú $2-t,1,t,t^2,t^3\in\mathbb R[t]$ lineárne nezávislé?

Keď sa pýtame, či $1$, $t$, $t^2$, $t^3$ sú lineárne nezávislé, tak sa pýtame vlastne na rovnosť
$$a+bt+ct^2+dt^3=0.$$
Pretože vieme, že polynóm sa rovná nule práve vtedy, keď sa rovnajú nule všetky koeficienty, tak dostávame $a=b=c=d=0$, teda tieto funkcie vektory sú lineárne nezávislé.

Môžeme sa na túto úlohu skúsiť pozrieť aj trochu inak: Keďže na polynómy sa pozeráme ako na funkcie (príklad 1.7.2(2) v LAG1), tak by sme to mohli preformulovať aj takto: Ak vieme, že $a+bt+ct^2+dt^3=0$ platí pre každé $t\in\mathbb R$, vyplýva z toho, že $a=b=c=d=0$?

Ak má uvedená rovnosť platiť pre každé $t$, tak musí platiť aj keď za $t$ dosadíme konkrétne číslo. Skúsme napríklad dosadiť za $t$ čísla $0$, $\pm1$ a $2$. Dostaneme rovnice
$$
\begin{align*}
a&=0\\
a+b+c+d&=0\\
a-b+c-d&=0\\
a+2b+4c+8d&=0
\end{align*}
$$

Táto sústava má iba nulové riešenie
$\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 1 &-1 \\
1 & 2 & 4 & 8
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 &-1 & 1 &-1 \\
0 & 2 & 4 & 8
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 6
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 6
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)$

Tento postup by bol užitočný najmä vtedy, ak by sme pracovali s inými funkciami, nie polynómami. (Napríklad ak by bolo úlohou zistiť, či $1$, $\cos t$, $\sin t$ sú lineárne nezávislé.)

V druhej časti úlohy ide očividne o lineárne závislé vektory: $2-t=2\cdot1-1\cdot t$.