msleziak.com

Overte v $\mathbb C^3$ rovnosť
$$[(1,i,-1),(1,i,i)]=[(1,i,-1),(1,i,i),(1+i,1-i,-2)].$$

Táto úloha je ekvivalentná s otázkou, či $(1+i,1-i,-2)$ patrí do lineárneho obalu vektorov $(1,i,-1)$, $(1,i,i)$, t.j. či je ich lineárnou kombináciou.

Aj bez rátania sa dá všimnúť že to tak nie je: Oba zadané vektory spĺňajú podmienku $x_2=ix_1$. Teda túto podmienku spĺňa každý vektor z ich lineárneho obalu. Ale tretí zadaný vektor ju nespĺňa.

Môžeme túto úlohu však aj vyrátať štandardným spôsobom - zostavíme si sústavu, ktorú dostaneme z podmienky $(1+i,1-i,-2)=a(1,i,-1)+b(1,i,i)$.
$\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 1+i \\
i & i & 1-i \\
-1 & i & -2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 1+i \\
1 & 1 &-1+i \\
-1 & i & -2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|c}
0 & 0 & 2 \\
1 & 1 &-1+i \\
-1 & i & -2
\end{array}\right)
$
Prvý riadok zodpovedá rovnici $0=2$, teda nemá riešenie.

Čo keby zadanie vyzeralo takto?

Overte v $\mathbb C^3$ rovnosť
$$[(1,i,-1),(1,i,i)]=[(1,i,-1),(1,i,i),(1+i,i-1,-2)].$$

Teraz dostaneme takúto sústavu:
$\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 1+i \\
i & i & i-1 \\
-1 & i & -2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 1+i \\
0 & 0 & 0 \\
0 &1+i& -1+i
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 1 & 1+i \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & i
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & i
\end{array}\right)$
Môžeme skontrolovať, že skutočne platí
$$(1+i,i-1,-2)=1(1,i,-1)+i(1,i,i).$$