msleziak.com

Dokážte, že ak $\mathbb R$ chápeme ako vektorový priestor nad $\mathbb Q$, tak vektory $1$ a $X$ sú lineárne nezávislé v $\mathbb R$ práve vtedy, keď číslo $x$ je iracionálne.

Rozumné je znovu si premyslieť, prečo $\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$. Vektory v tomto priestore sú reálne čísla, pole, nad ktorým pracujeme, je pole racionálnych čísel.

Riešenie.
Ak $x$ je iracionálne. Nech $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ a platí
$$c_1+c_2x=0$$
pre $c_{1,2}\in\mathbb Q$
Uvažujme dva prípady:
a) $c_2\ne0$; Potom $x=-\frac{c_1}{c_2}$, čo znamená, že $x$ je racionálne. Dostali sme spor. Teda tento prípade nemôže nastať.
b) $c_2=0$; Potom dostaneme z uvedenej rovnosti $c_1=0$.
Zistili sme, že ak $c_1+c_2x=0$, tak $c_1=c_2=0$. Teda vektory $1$ a $x$ sú lineárne nezávislé.

Ak $x$ je racionálne. Ak $x\in\mathbb Q$ tak máme rovnosť
$$x\cdot1-1\cdot x=0.$$
Dostali sme nulu ako lineárnu kombináciu $1$ a $x$, pričom koeficienty $c_1=x$ a $c_2=-1$ sú racionálne čísla a nie sú všetky nulové. Teda $1$ a $x$ sú lineárne závislé.
$\square$