Úloha 2.5.7(1) - priamy súčet $n$ podpriestorov
Posted: Mon Nov 09, 2015 12:48 pm
Túto PÚ som minulý týždeň nestihol na cviku (a nestihol som sa ani na výberovom cviku dostať k súčtom podpriestorov.)
$$V_j\cap (V_1+\dots+V_{j-1}+V_{j+1}+\dots+V_n)=\{\vec0\}\tag{$\square$}$$
pre každé $j=1,2,\dots,n$.
V takomto prípade ho označíme $V=V_1\oplus\dots\oplus V_n$.
Formulácia aj dôkaz vety je veľmi podobná na prípad dvoch podpriestorov.
Veta. Nech $V$ je vektorový priestor a $V_1,\dots,V_n$ sú jeho podpriestory. Potom $V=V_1\oplus\dots\oplus V_n$ platí práve vtedy, ak každý vektor $\vec x\in V$ sa dá práve jedným spôsobom vyjadriť ako
$$\vec x=\vec x_1+\dots+\vec x_n,\tag{1}$$
kde $\vec x_i\in V_i$ pre $i=1,2,\dots,n$.
Dôkaz. Všimnime si, že to, že každý vektor sa dá vyjadriť v tvare (1) je len iným spôsobom vyjadrený fakt, že $V=V_1+\dots+V_n$. Už sa teda zamerajme iba na to, že pridanie požiadavky na jednoznačnosť je to isté, ako že ide o priamy súčet.
$\boxed{\Rightarrow}$ Vieme, že $V$ je priamy súčet zadaných podpriestorov a chceme ukázať jednoznačnosť vyjadrenia (1).
Predpokladajme teda, že
$$\vec x=\vec x_1+\dots+\vec x_n=\vec y_1+\dots+\vec y_n,$$
kde $x_i,y_i\in V_i$.
Z toho dostaneme, že
$$(\vec x_1-\vec y_1)+\dots+(\vec x_n-\vec y_n)=\vec 0.$$
Túto rovnosť môžeme upraviť na
$$\vec y_j-\vec x_j=(\vec x_1-\vec y_1)+\dots+(\vec x_{j-1}-\vec y_{j-1})+(\vec x_{j+1}-\vec y_{j+1})+\dots+(\vec x_n-\vec y_n).$$
Vektor vystupujúci v predchádzajúcej rovnosti teda patrí do $V_j$ a súčasne do $(V_1+\dots+V_{j-1}+V_{j+1}+\dots+V_n)$. Podľa rovnosti $(\square)$ to ale znamená, že je nulový vektor.
Zistili sme, že pre každé $j$ platí $\vec y_j-\vec x_j=\vec 0$, t.j.
$$\vec y_j=\vec x_j.$$
Táto rovnosť platí pre každé $j=1,2,\dots,n$.
To znamená, že obe uvedené vyjadrenia vektoru $\vec x$ sú rovnaké.
$\boxed{\Leftarrow}$ Tentokrát predpokladáme jednoznačnosť a chceme ukázať, že ide o priamy súčet (t.j. ukázať, že platí $(\square)$).
Ak vezmeme ľubovoľný vektor z $V_j\cap (V_1+\dots+V_{j-1}+V_{j+1}+\dots+V_n)$, tak ho môžeme zapísať ako
$$\vec x_j=\vec x_1+\dots \vec x_{j-1}+\vec x_{j+1} + \dots + \vec x_n,$$
pričom opäť platí $\vec x_i\in V_i$ pre každé $i=1,2,\dots,n$.
Všimnime si, že dostávame takéto dve rovnosti:
$$
\begin{align*}
\vec 0 &= \vec x_1+\dots \vec x_{j-1}-\vec x_j+\vec x_{j+1} + \dots + \vec x_n;\\
\vec 0 &= \vec 0+\dots \vec 0+\vec 0+\vec 0 + \dots + \vec 0.
\end{align*}
$$
Ide o dve vyjadrenia toho istého vektora ako súčtu vektorov z $V_1,\dots,V_n$. Na základe jednoznačnosti dostávame, že sčítance sa musia zhodovať. Špeciálne to znamená, že $$\vec x_j=\vec 0.$$
Tým sme dokázali, že každý vektor z prieniku $V_j\cap (V_1+\dots+V_{j-1}+V_{j+1}+\dots+V_n)$ je nulový.
$\square$
Pripomeňme si definíciu: Ak $V=V_1+\dots+V_n$, tak $V$ nazveme priamy súčet podpriestorov $V_1,\dots,V_n$ ak navyše platíSformulujte a dokážte charakterizáciu priameho súčtu ľubovoľného konečného počtu vektorových podpriestorov v duchu vety 2.5.4.
$$V_j\cap (V_1+\dots+V_{j-1}+V_{j+1}+\dots+V_n)=\{\vec0\}\tag{$\square$}$$
pre každé $j=1,2,\dots,n$.
V takomto prípade ho označíme $V=V_1\oplus\dots\oplus V_n$.
Formulácia aj dôkaz vety je veľmi podobná na prípad dvoch podpriestorov.
Veta. Nech $V$ je vektorový priestor a $V_1,\dots,V_n$ sú jeho podpriestory. Potom $V=V_1\oplus\dots\oplus V_n$ platí práve vtedy, ak každý vektor $\vec x\in V$ sa dá práve jedným spôsobom vyjadriť ako
$$\vec x=\vec x_1+\dots+\vec x_n,\tag{1}$$
kde $\vec x_i\in V_i$ pre $i=1,2,\dots,n$.
Dôkaz. Všimnime si, že to, že každý vektor sa dá vyjadriť v tvare (1) je len iným spôsobom vyjadrený fakt, že $V=V_1+\dots+V_n$. Už sa teda zamerajme iba na to, že pridanie požiadavky na jednoznačnosť je to isté, ako že ide o priamy súčet.
$\boxed{\Rightarrow}$ Vieme, že $V$ je priamy súčet zadaných podpriestorov a chceme ukázať jednoznačnosť vyjadrenia (1).
Predpokladajme teda, že
$$\vec x=\vec x_1+\dots+\vec x_n=\vec y_1+\dots+\vec y_n,$$
kde $x_i,y_i\in V_i$.
Z toho dostaneme, že
$$(\vec x_1-\vec y_1)+\dots+(\vec x_n-\vec y_n)=\vec 0.$$
Túto rovnosť môžeme upraviť na
$$\vec y_j-\vec x_j=(\vec x_1-\vec y_1)+\dots+(\vec x_{j-1}-\vec y_{j-1})+(\vec x_{j+1}-\vec y_{j+1})+\dots+(\vec x_n-\vec y_n).$$
Vektor vystupujúci v predchádzajúcej rovnosti teda patrí do $V_j$ a súčasne do $(V_1+\dots+V_{j-1}+V_{j+1}+\dots+V_n)$. Podľa rovnosti $(\square)$ to ale znamená, že je nulový vektor.
Zistili sme, že pre každé $j$ platí $\vec y_j-\vec x_j=\vec 0$, t.j.
$$\vec y_j=\vec x_j.$$
Táto rovnosť platí pre každé $j=1,2,\dots,n$.
To znamená, že obe uvedené vyjadrenia vektoru $\vec x$ sú rovnaké.
$\boxed{\Leftarrow}$ Tentokrát predpokladáme jednoznačnosť a chceme ukázať, že ide o priamy súčet (t.j. ukázať, že platí $(\square)$).
Ak vezmeme ľubovoľný vektor z $V_j\cap (V_1+\dots+V_{j-1}+V_{j+1}+\dots+V_n)$, tak ho môžeme zapísať ako
$$\vec x_j=\vec x_1+\dots \vec x_{j-1}+\vec x_{j+1} + \dots + \vec x_n,$$
pričom opäť platí $\vec x_i\in V_i$ pre každé $i=1,2,\dots,n$.
Všimnime si, že dostávame takéto dve rovnosti:
$$
\begin{align*}
\vec 0 &= \vec x_1+\dots \vec x_{j-1}-\vec x_j+\vec x_{j+1} + \dots + \vec x_n;\\
\vec 0 &= \vec 0+\dots \vec 0+\vec 0+\vec 0 + \dots + \vec 0.
\end{align*}
$$
Ide o dve vyjadrenia toho istého vektora ako súčtu vektorov z $V_1,\dots,V_n$. Na základe jednoznačnosti dostávame, že sčítance sa musia zhodovať. Špeciálne to znamená, že $$\vec x_j=\vec 0.$$
Tým sme dokázali, že každý vektor z prieniku $V_j\cap (V_1+\dots+V_{j-1}+V_{j+1}+\dots+V_n)$ je nulový.
$\square$