msleziak.com

Toto bola jedna z úloh, ktorú sme riešili minulý piatok na konzultáciách:$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$

Nájdite všetky homomorfizmy z grupy $(\Z_{10},+)$ do grupy $(\Z_4,+)$.

Pripomeňme definíciu homomorfizmu: V tomto prípade by to malo byť zobrazenie $f \colon \Z_{10} \to \Z_4$ také, že
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
platí pre ľubovoľné $x,y\in\Z_{10}$
Ak chceme zdôrazniť, že v týchto dvoch grupách sú rozdielne operácie - hoci sú označené tým istým písmenom, tak môžeme napísať
$$f(x+_{10}y)=f(x)+_4f(y).$$

Základná myšlienka riešenia je tá, že ak poznáme $f(1)$, tak už sa dá prísť na to, ako vyzerajú obrazy všetkých ostatných prvkov. (To platí iba vďaka tomu, že táto grupa je veľmi jednoduchá - nie je to tak v každej grupe. Ak sa chcete naučiť nové cudzie slovo - funguje to preto, že táto grupa je cyklická.)

Vieme, že každý homomorfizmus zobrazuje neturálny prvok na neutrálny. Teda musí platiť $f(0)=0$.

Pre $f(1)$ máme štyri možnosti, pokúsime sa postupne pozrieť na všetky z nich.

Napríklad ak $f(1)=0$, tak dostaneme (použitím definície homomorfizmu), že aj
$f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=0$
$f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=0$
$f(f)=f(3+1)=f(3)+f(1)=0$
atď.

To isté môžeme urobiť pre ostatné možnosti. Ak sa pýtame, čo sa stane v prípade, že $f(1)=1$, tak postupne dostaneme
$f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1=2$
$f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2+1=3$
$f(4)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3+1=0$
atď.

Asi teraz už vidno, že ak je známa hodnota $f(1)$, tak vieme prísť na to, ako musia vyzerať všetky ostatné hodnoty. Skúsme jednotlivé možnosti trochu prehľadnejšie zapísať do tabuľky:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & f_0(x) & f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
2 & 0 & 2 & 0 & 2 \\\hline
3 & 0 & 3 & 2 & 1 \\\hline
4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
6 & 0 & 2 & 0 & 2 \\\hline
7 & 0 & 3 & 2 & 1 \\\hline
8 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
9 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\\hline
\end{array}
$$

Zatiaľ sme v situácii, že máme 4 možných kandidátov na hľadané homomorfizmy.

Dva z nich vieme ľahko vylúčiť. (To je dôvod, prečo som tam ešte raz posledný riadok pre $0$.)
Napríklad v prípade $f_1$ sme zistili, že ak $f_1$ je homomorfizmus a $f_1(1)=1$, tak nutne aj $f_1(9)=1$ a z toho dostaneme $f_1(0)=f_1(1+9)=2$. Vieme však tiež, že $f_1(0)=0$. Tieto dve rovnosti nemôžu platiť súčasne.

Pomocou rovnakých argumentov vieme vylúčiť aj $f_3$.

Zostali nám teda funkcie $f_0$ a $f_2$. (Ktoré sú jednoznačne určené tým, čo máme napísané v príslušných stĺpcoch našej tabuľky.) Otázka je, či sú to skutočne homomorfizmy.

Pre $f_0$ je to ľahké. Je to zobrazenie určené predpisom $f_0(x)=0$. Ľahko sa skontroluje, že takéto zobrazenie spĺňa definíciu homomorfizmu.
(Navyše z prednášky dokonca vieme, že pre ľubovoľné dve grupy $G$ a $H$ je zobrazenie $f\colon G\to H$ definované predpisom $f(x)=e_H$ homomorfizmus. Inak povedané, ide o zobrazenie, ktoré zobrazí každý prvok na neutrálny.)

Ako by sme vedeli overiť, či aj $f_2$ je homomorfizmus?
Jedna možnosť by bola skutočne vyskúšať všetkých $10^2$ dvojíc prvkov zo $\Z_{10}$ a skontrolovať, či platí $f_2(x+y)=f_2(x)+f_2(y)$. Dúfajme, že sa nám podarí vymyslieť aj efektívnejšie riešenie.

Môžeme si napríklad všimnúť, že predpis pre $f_2$ môžeme stručnejšie zapísať takto (budem už, kvôli stručnosti, písať $f$ namiesto $f_2$):
$$f(x)=
\begin{cases}
0 & \text{ak $x$ je párne}, \\
2 & \text{ak $x$ je nepárne}.
\end{cases}
$$
Vďaka tomu nám stačí namiesto $10^2$ možností preskúšať iba 4; v závislosti od parity čísel $x$, $y$.

Ešte si uvedomme, že parita $x$, $y$ určuje paritu súčtu $x+y$ aj ak sčitujeme modulo $10$. (To, že vezmeme namiesto nejakého čísla jeho zvyšok po delení desiatimi neovplyvní paritu. Tým som totiž dané číslo zmenil o násobok čísla $10$, čo je párne číslo.)

• Ak $x$ aj $y$ sú párne, tak aj $x+y$ je párne. Dostaneme $f(x)=0$, $f(y)=0$, $f(x+y)=0$.
• Ak $x$ je párne a $y$ je nepárne, tak aj $x+y$ je nepárne. Dostaneme $f(x)=0$, $f(y)=2$, $f(x+y)=2$.
• Ak $x$ je nepárne a $y$ je párne, tak $x+y$ je nepárne. Dostaneme $f(x)=2$, $f(y)=0$, $f(x+y)=2$.
• Ak $x$ aj $y$ sú nepárne, tak $x+y$ je párne. Dostaneme $f(x)=2$, $f(y)=2$, $f(x+y)=0$.

Vo všetkých uvedených prípadoch platí $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Teda je to skutočne homomorfizmus.


Alebo to skúsme ešte inak. Predpis zobrazenia $f$ vieme zapísať ako
$$f(x)=2\times (x\bmod 2).$$

Naschvál teraz budem označovať modulárne sčitovanie pomocou $\oplus$, aby som jasne rozlíšil, kde aké sčitovanie používam.

Potom dostaneme
\begin{align*}
f(x)\oplus_4f(y)
&= (2\times (x\bmod 2) + 2\times (y\bmod 2))\bmod 4 \\
&= (2\times (x\bmod 2 + y\bmod 2))\bmod 4 \\
&= (2\times (x\bmod 2 + y\bmod 2))\bmod 4 \\
&= (2\times (x + y)\bmod 2)\bmod 4 \\
&\overset{(*)}= (2\times (x \oplus_{10} y)\bmod 2)\bmod 4 \\
&\overset{(**)}= 2\times (x \oplus_{10} y)\bmod 2 \\
&= f(x\oplus_{10}y)
\end{align*}
Rovnosť $(*)$ vyplýva z toho, že zvyšok po delení číslom $10$ má rovnakú paritu ako pôvodné číslo. Rovnosť $(**)$ vyplýva z toho, že ako jediné čísla tam môžeme dostať $0$ alebo $2$, pre ne platí, že sa priamo rovnajú zvyšku po delením číslom $4$.

V predchádzajúcom príspevku sme vyriešili zadanú úlohu. Našli sme všetky homomorfizmy zo $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\newcommand{\Ima}{\operatorname{Im}}\Z_{10}$ do $\Z_4$, boli iba dva.

Poďme sa ešte pozrieť, čo z toho vieme zistiť, ak použijeme vetu o faktorovom izomorfizme. (Len aby sme si ilustrovali, čo nám vlastne veto a faktorovom izomorfizme hovorí.)

Pripomeňme znenie vety: Ak $f\colon G\to H$ je homomorfizmus grúp $(G,*)$ a $(H,\circ)$, pričom $(G,*)$ je komutatívna grupa, tak platí:

• Jadro tohoto homomorfizmu $\Ker f$ je podgrupa grupy $G$.
• Faktorová grupa $G/\Ker f$ je izomorfná s $\Ima f$. (Vieme, že $\Ima f$ je podgrupa grupy $H$.)

Opäť sa oplatí povedať to, že táto veta platí aj bez predpokladu, že $G$ je komutatívna. Ale vy ste sa o faktorizácii grúp učili iba v takomto prípade, takže s tým, čo zatiaľ viete, sa táto veta dá sformulovať a dokázať iba pre komutatívny prípad.

V~prípade $f_0=0$ dostaneme iba veľmi triviálny výsledok. Jadro je $\{0\}$, to určite je podgrupa. A tiež dostaneme, že $G/\{0\}\cong G$.

Pozrime sa, či nám aspoň o niečo zaujímavejšiu informáciu dá homomorfizmus $f_2$.

V tomto prípade je $\Ker f_2=2\Z_5=\{0,2,4,6,8\}$.
Veta o izomorfizme nám hovorí, že to je podgrupa. To však vieme skontrolovať ľahko i z definicie -stačí sa pozrieť na to, že súčet dvoch párnych čísel je opäť párne. (A platí to aj ak sčitujem modulo $10$.)

Obraz je v tomto prípade $\Ima f_2=\{0,2\}$
Súčasne nám to hovorí, že faktorová grupa $G/\{0,2,4,6,8\}$ je izomorfzná s podgrupou $\{0,2\}$ grupy $\Z_4$.
Keď sa pozrieme na tabuľky grupových operácií, tak si ľahko všimneme, že to je to isté, ako $(\Z_2,+)$.
(Vľavo je tabuľka $\Ima f_2$, vpravo je tabuľka $\Z_2$.)
$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 2 \\\hline
0 & 0 & 2 \\
2 & 2 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\\hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
\end{array}$$