msleziak.com

Nech konečná množina $G=\{e, a_1, \dots, a_n\}$ tvorí s operáciou $*$ komutatívnu grupu a $e$ je jej neutrálny prvok. (Prvky $e, a_1, \dots, a_n$ sú rôzne.) Dokážte, že $(a_1 * a_2 * \dots * a_n)^2 = e$. Nájdite príklad takej grupy, pre ktorú $a_1 * a_2 * \dots * a_n \neq e$.

Základná myšlienka je taká že každý prvok sa vykráti s prvkom k nemu inverzným. Inak povedané, ak viem poprehadzovať celý súčin do dvojíc tvaru $a*a^{-1}$, tak celý súčin je $e$.
Keby som napísal iba $a_1 * a_2 * \dots * a_n$, tak nemusím nutne dostať $e$. Môže tam totiž byť prvok, ktorý je inverzný sám k sebe.
Ale ak mám súčin $(a_1 * a_2 * \dots * a_n)*(a_1 * a_2 * \dots * a_n)$, tak ku každému prvku z prvej zátvorky mám v tej druhej jeho inverz, dokopy mi dajú $e$.

Dalo by sa to zapísať aj tak, že si uvedomím, že ak $a_1, a_2, \dots, a_n$ sú všetky prvky z $G$, tak aj $a_1^{-1}, a_2^{-1},\dots,a_n^{-1}$ sú všetky prvky z $G$. (Možno napísané v inom poradí. Aby sme videli, že to takto je, stačí si uvedomiť, že $a\mapsto a^{-1}$ je bijekcia z $G$ do $G$.)
Takže platí $$(a_1 * a_2 * \dots * a_n)*(a_1 * a_2 * \dots * a_n) = (a_1 * a_2 * \dots * a_n)*(a_1^{-1} * a_2^{-1} * \dots * a_n^{-1}) =
(a_1*a_1^{-1})*(a_2*a_2^{-1})* \dots * (a_n*a_n^{-1}) = e * e * \dots * e = e.$$

Všimnite si, že sme prvky aj prehadzovali - takže v riešení sme využili komutatívnosť.

Ako kontrapríklad môže poslúžiť napríklad $(\mathbb Z_4,+)$; kde dostávame $0+1+2+3=2$.
Alebo aj $(\mathbb Z_5^*,*)$, kde dostaneme $1\cdot2\cdot3\cdot4=4$. (Tieto dve grupy sú izomorfné, takže ak funguje jedna, musí fungovať aj druhá.)
A dá sa nájsť veľa ďalších príkladov.

Pridám aj linku: Prove that $(a_1a_2\cdots a_n)^{2} = e$ in a finite Abelian group

Pre špekulantov doplním, že sa dá povedať, že zadanie nebolo celkom správne. Mali sme tam vyslovene napísať, že prvky $e,a:1,\dots,a_n$ sú rôzne resp. to, že grupa $G$ má $(n+1)$ prvkov. Snáď to bolo jasné z kontextu.
Ale ak by niekto napísal, že tvrdenie neplatí, lebo napríklad pre $\mathbb Z_4=\{0,1,1,2,3\}$ dostaneme $1+1+2+3=3$ a $3+3=2\ne 0$; tak by mal v princípe pravdu. (Keby sme zadanie čítali úplne doslovne presne tak, ako je napísané; a bez opravy, ktorú som teraz spomenul.)

Komentáre k vaším riešeniam

V písomkách sa často vyskytoval zápis ako $\sqrt e$; neviem čo sa ním myslí.

Často ste ako kontrapríklad uviedli niečo, čo netvorilo prvky grupy.
Alebo ste napísali, že kontrapríklad je nejaká nekonečná grupa - pre nekonečnú grupu nevieme ani zmysluplne zadefinovať súčin všetkých jej prvkov.