msleziak.com

Dostal som takúto otázku mailom - lepšie sa mi zdalo odpovedať tu, nech vidí odpoveď viac ľudí (a tým pádom to môže byť užitočné aj pre ostatných).
A možno by to bolo jednoduchšie aj pre vás - keďže na fóre sa ľahšie zapisuje matika. (Napríklad nie je problém zarovnať viacero rovníc. (To je dôvod, prečo som to dal do code - aby som aspoň ako-tak zachoval zarovnanie v ascii, s ktorým ste si dali námahu, keď ste posielali tento mail.)

Chcel by som sa spytat, ci na to idem spravnym postupom a este jednu vec ku ktorej sa dostanem.

Ak som správne pochopil váš postup, tak testuje, či niektorý vektor je lineárna kombinácia ostatných. (A skúšate to postupne pre prvý, druhý, tretí vektor.)
To je správne riešenie, ale zbytočne prácne.

Ak to chcete riešiť tým, že kontrolujete, či je niektorý vektor kombináciou ostatných, tak si môžete spomenúť, že pre lineárne závislé vektory máme aj takú podmienku, že niektorý z nich je lineárnou kombináciou predchádzajúcich. (Za predpokladu, že prvý z nich je nenulový.)
To mi môže ušetriť trochu práce:
* Prvý vektor je nenulový.
* Ľahko zbadám, že druhý vektor nie je násobkom prvého.
* Potom kontrolujem, či tretí vektor je lineárnou kombináciou prvých dvoch - čo je presne sústava, ktorú ste riešili vy.
Stále som kontroloval tri vektory, ale mal som overiť jednoduchšiu vec.

Mne by sa to zdalo jednoduchšie overiť priamo z definície, t.j. spýtať sa, kedy platí $a(1,0,0) + b(0,1,2) + c(2,1,3) = (0,0,0)$. To nám dá sústavu:
$$\begin{array}{cccc}
a&\hphantom{+}&+2c&=0\\
&\hphantom{+}b&+c&=0\\
&\hphantom{+}2b&+3c&=0
\end{array}$$
Riešením tejto sústavy dostanem $a=b=c=0$.
Z toho zistím, že vektory sú lineárne nezávislé. (Lebo nulový vektor viem dostať ako lineárnu kombináciu iba ak sú všetky koeficienty nulové.)

Robim tento priklad spravne / da sa ist na to nejakym sikovnejsim sposobom (bez pouzitia matice) ?

Ja veľmi nevidím dôvod vyhýbaniu sa používaniu matice. (Keď sme sa odvtedy už nejaké nové veci naučili, prečo ich nepoužiť?)
V princípe jedna možnosť cez matice je riešiť sústavu maticovým zápisom. (Keďže často používame riadkové úpravy a už sme si na ne zvykli, tak sústavu asi vyriešime rýchlejšie.)
$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 0
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)$
Vyšlo nám, že jediné riešenie sústavy je nulové.
(Dohodli sme sa, že ak sú pravé strany nulové, tak ich môžeme vynechávať - nezmenia sa pri úpravách. Ja som ich sem pre istotu napísal - aby som zdôraznil, že ide o sústavu.)

Alebo si môžem vektory zapísať do riadkov a robiť riadkové úpravy:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Z tohoto tiež vidím, že sú lineárne nezávislé. (Zdôvodnenie: Zistil som, že dimenzia podpriestoru generovaného danými vektormi je 3. Vieme, že ak 3 vektory generujú priestor dimenzie 3, tak tvoria bázu a sú lineárne nezávislé.

Na cviku sme pri podobnej ulohe zapisali, ze b = 3/4 = 2 v Z5 a trochu som to nepochopil. Ako sa da prepisat 1/2 do Z5?

Priznám sa, že mne sa viac pozdáva zápis $34^{-1}$ ako $3/4$; aby som skutočne videl, že ste si vedomý, že rátate v $\mathbb Z_5$ a nie v $\mathbb R$. Ale hlavne k tomu, ako takéto veci rátať:

Ak hľadám $x$ také, že $4x=3$, tak môžem obe strany rovnice vynásobiť $4^{-1}$. Treba však aj zistiť, čomu sa rovná $4^{-1}$ v $\mathbb Z_5$. Na to stačí vyskúšať jednotlivé možnosti; vyskúšam prvky 1,2,3,4 až kým nenájdem taký, že súčin so štvorkou mi dá v $\mathbb Z_5$ jednotku. Konkrétne nájdem $4\odot4=1$. (Alebo ak si všimnem, že $4=-1$, tak $(-1)^2=1$ vidím hneď.) Teda $4^{-1}=4$. Obe strany vynásobím štvorkou a dostanem ekvivalentnú rovnicu $x=2$. (Na ľavej strane som dostal $4\odot4=1$. Na pravej strane som dostal $4\odot3=2$.

Niekedy sa môže stať, že ani nemusím hľadať inverzný prvok. Napríklad ak by som hľadal $x$ také, že platí $3x=3$, tak obe strany násobím $3^{-1}$. Nepotrebujem vedieť, čomu sa rovná $3^{-1}$, stačí mi vedieť, že v $\mathbb Z_5$ taký prvok určite existuje. Dostanem $3x=3$.

Vo vašom prípade rovnicu môžete vynásobiť prvkom $2^{-1}=3$.
$2b=1$ (obe strany rovnice vynásobím 3)
$b=3$

Jedine co ma napadlo je spravit 2b = 1 -> 4 + 2b = 0 -> 2 + b = 0 -> b = 3

To je tiež správny postup. Rozumiem mu tak, že keď ste napísali túto implikáciu $4 + 2b = 0$ $\Rightarrow$ $2 + b = 0$, tak ste násobili obe stany $2^{-1}$.
Alebo to môžem povedať aj inak: Mám $2(2+b)=0$. Aby bol súčin dvoch prvkov v poli nula, tak jeden z nich musí byť nulový. Pretože $2\ne0$, dostanem $2+b=0$.

Martin Sleziak wrote: Alebo si môžem vektory zapísať do riadkov a robiť riadkové úpravy:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Z tohoto tiež vidím, že sú lineárne nezávislé. (Zdôvodnenie: Zistil som, že dimenzia podpriestoru generovaného danými vektormi je 3. Vieme, že ak 3 vektory generujú priestor dimenzie 3, tak tvoria bázu a sú lineárne nezávislé.

Keď máme vektory $(1, 0, 0), (0, 1, 2), (2, 1, 3)$, ako sa Vám ich podarilo zapísať do riadku? Keď vektory prepíšem do riadkov, nie je to takto?
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$

adrianmatejov wrote:
Keď máme vektory $(1, 0, 0), (0, 1, 2), (2, 1, 3)$, ako sa Vám ich podarilo zapísať do riadku? Keď vektory prepíšem do riadkov, nie je to takto?
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$

Máte pravdu - zle som odpísal prvý vektor.
Výsledok bude našťastie rovnaký.
Už som zeditoval môj predošlý post, snáď na druhý pokus by to už mohlo byť dobre.