Obal nad $\mathbb R$ a nad $\mathbb Z_2$
Posted: Sun Nov 15, 2015 10:56 pm
V oboch skupinách bolo rovnaké zadanie
Začnime s b - tam stačí nájsť kontrapríklad.
Ak vezmeme štandardnú bázu priestoru $V=\mathbb Z_2^3$, t.j. $\vec\alpha=(1,0,0)$, $\vec\beta=(0,1,0)$, $\vec\gamma=(0,0,1)$, tak dostaneme:
$\vec\alpha+\vec\beta=(1,1,0)$
$\vec\alpha+\vec\gamma=(1,0,1)$
$\vec\beta+\vec\gamma=(0,1,1)$
Stačí si všimnúť, že súčet týchto troch vektorov je nulový vektor, a hneď vidíme, že sú lineárne závislé. Teda tieto vektory nemôžu tvoriť bázu a negenerujú celý priestor $\mathbb Z_2^3$.
V tomto prípade teda $[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=\mathbb Z_2^3 \ne [\vec\alpha+\vec\beta,\vec\alpha+\vec\gamma,\vec\beta+\vec\gamma]$.
Iný kontrapríklad:
Nech $\vec\alpha\ne\vec0$ a položme $\vec\alpha=\vec\beta=\vec\gamma$. Potom platí:
$[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=[\vec\alpha,\vec\alpha,\vec\alpha]=[\vec\alpha]$
$[\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma]=[\vec\alpha+\vec\alpha,\vec\alpha+\vec\alpha,\vec\alpha+\vec\alpha]=[\vec0,\vec0,\vec0]=[\vec0]$
(Využili sme, že vo vektorovom priestore nad $\mathbb Z_2$ dostaneme $\vec\alpha+\vec\alpha=(1+1)\vec\alpha=0\vec\alpha=\vec0$.)
Pozrime sa na to, ako by sme mohli dokázať časť a:
Ak sa nám podarí ukázať, že každý z vektorov $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$ patrí do $[\vec\alpha+\vec\beta,\vec\alpha+\vec\gamma,\vec\beta+\vec\gamma]$, tak z toho vyplýva inklúzia $[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]\subseteq[\vec\alpha+\vec\beta,\vec\alpha+\vec\gamma,\vec\beta+\vec\gamma]$.
Na to si stačí všimnúť, že
$\vec\alpha=\frac12(\vec\alpha+\vec\beta)+\frac12(\vec\alpha+\vec\gamma)-\frac12(\vec\beta+\vec\gamma)$
$\vec\beta=\frac12(\vec\alpha+\vec\beta)-\frac12(\vec\alpha+\vec\gamma)+\frac12(\vec\beta+\vec\gamma)$
$\vec\gamma=-\frac12(\vec\alpha+\vec\beta)+\frac12(\vec\alpha+\vec\gamma)+\frac12(\vec\beta+\vec\gamma)$
Ak nechcem hádať, tak na uvedené koeficienty sa dalo prísť aj riešením rovníc. Napríklad tak, že sa spýtame: Viem dostať $\vec\alpha$ ako lineárnu kombináciu zadaných vektorov. T.j. viem nájsť $c_{1,2,3}$ také, aby platilo
$\vec\alpha=c_1(\vec\alpha+\vec\beta)+c_2(\vec\alpha+\vec\gamma)+c_3(\vec\beta+\vec\gamma)$
$\vec\alpha=(c_1+c_2)\vec\alpha+(c_1+c_3)\vec\beta+(c_2+c_3)\vec\gamma$
Uvedené rovnosti určite platia, ako $c_1+c_2=1$, $c_1+c_3=0$, $c_2+c_3=0$.
Riešením tejto sústavy dostaneme presne tie koeficieny, ktoré som napísal vyššie.
Opačná inkúzia je ešte jasnejšia. Každý z vektorov $\vec\alpha+\vec\beta$, $\vec\alpha+\vec\gamma$, $\vec\beta+\vec\gamma$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$.
Teda platí:
$\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma \in [\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$
$[\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma] \subseteq [\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$
Dokázali sme obe inklúzie, teda platí rovnosť $[\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma] = [\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$.
Komentáre, poznámky
Síce túto vec som už hovoril veľakrát, ale zopakujem ju znovu. Ak chcem nejaké tvrdenie vyvrátiť, stačí nájsť jeden konkrétny kontrapríklad. Ak chcem nejaké tvrdenie dokázať, tak to, že to vyskúšam na nejakom konkrétnom príklade nestačí. (Aj keď mi to samozrejme môže pomôcť prísť na to, prečo to funguje.)
Niekto navrhol v písomke taký kontrapríklad, kde za dva z daných vektorov zvolil $\vec0$.
Takto určite nedostaneme kontrapríklad. Ak napríklad $\vec\beta=\vec\gamma=\vec0$, tak dostaneme
$[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=[\vec\alpha,\vec0,\vec0]=[\vec\alpha]$
$[\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma]=[\vec\alpha,\vec\alpha,\vec0]=[\vec\alpha]$
Takisto ste viacerí v riešeniach písali veci, ktoré vyzerali, ako keby jediný možný vektorový priestor nad poľom $F$ bol priestor $F$.
T.j. v a) ste pracovali s $V=\mathbb R$ a v b) s $V=\mathbb Z_2$. (Aspoň tak som pochopil to, čo bolo vo vašich riešeniach napísané.)
Aj v jednorozmernom priestore by sa dal nájsť kontrapríklad pre $\mathbb Z_2$. Konkrétne funguje príklad s $\vec\alpha=\vec\beta=\vec\gamma$, ktorý som spomenul vyššie.
Tvrdenie v časti a) platí. Tvrdenie v časti b) neplatí.Dokážte, alebo nájdite kontrapríklad:
a) Ak $V$ je vektorový priestor nad $\mathbb R$ a $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$, tak platí $[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=[\vec\alpha+\vec\beta,\vec\alpha+\vec\gamma,\vec\beta+\vec\gamma]$.
b) Ak $V$ je vektorový priestor nad $\mathbb Z_2$ a $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$, tak platí $[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=[\vec\alpha+\vec\beta,\vec\alpha+\vec\gamma,\vec\beta+\vec\gamma]$.
Začnime s b - tam stačí nájsť kontrapríklad.
Ak vezmeme štandardnú bázu priestoru $V=\mathbb Z_2^3$, t.j. $\vec\alpha=(1,0,0)$, $\vec\beta=(0,1,0)$, $\vec\gamma=(0,0,1)$, tak dostaneme:
$\vec\alpha+\vec\beta=(1,1,0)$
$\vec\alpha+\vec\gamma=(1,0,1)$
$\vec\beta+\vec\gamma=(0,1,1)$
Stačí si všimnúť, že súčet týchto troch vektorov je nulový vektor, a hneď vidíme, že sú lineárne závislé. Teda tieto vektory nemôžu tvoriť bázu a negenerujú celý priestor $\mathbb Z_2^3$.
V tomto prípade teda $[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=\mathbb Z_2^3 \ne [\vec\alpha+\vec\beta,\vec\alpha+\vec\gamma,\vec\beta+\vec\gamma]$.
Iný kontrapríklad:
Nech $\vec\alpha\ne\vec0$ a položme $\vec\alpha=\vec\beta=\vec\gamma$. Potom platí:
$[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=[\vec\alpha,\vec\alpha,\vec\alpha]=[\vec\alpha]$
$[\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma]=[\vec\alpha+\vec\alpha,\vec\alpha+\vec\alpha,\vec\alpha+\vec\alpha]=[\vec0,\vec0,\vec0]=[\vec0]$
(Využili sme, že vo vektorovom priestore nad $\mathbb Z_2$ dostaneme $\vec\alpha+\vec\alpha=(1+1)\vec\alpha=0\vec\alpha=\vec0$.)
Pozrime sa na to, ako by sme mohli dokázať časť a:
Ak sa nám podarí ukázať, že každý z vektorov $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$ patrí do $[\vec\alpha+\vec\beta,\vec\alpha+\vec\gamma,\vec\beta+\vec\gamma]$, tak z toho vyplýva inklúzia $[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]\subseteq[\vec\alpha+\vec\beta,\vec\alpha+\vec\gamma,\vec\beta+\vec\gamma]$.
Na to si stačí všimnúť, že
$\vec\alpha=\frac12(\vec\alpha+\vec\beta)+\frac12(\vec\alpha+\vec\gamma)-\frac12(\vec\beta+\vec\gamma)$
$\vec\beta=\frac12(\vec\alpha+\vec\beta)-\frac12(\vec\alpha+\vec\gamma)+\frac12(\vec\beta+\vec\gamma)$
$\vec\gamma=-\frac12(\vec\alpha+\vec\beta)+\frac12(\vec\alpha+\vec\gamma)+\frac12(\vec\beta+\vec\gamma)$
Ak nechcem hádať, tak na uvedené koeficienty sa dalo prísť aj riešením rovníc. Napríklad tak, že sa spýtame: Viem dostať $\vec\alpha$ ako lineárnu kombináciu zadaných vektorov. T.j. viem nájsť $c_{1,2,3}$ také, aby platilo
$\vec\alpha=c_1(\vec\alpha+\vec\beta)+c_2(\vec\alpha+\vec\gamma)+c_3(\vec\beta+\vec\gamma)$
$\vec\alpha=(c_1+c_2)\vec\alpha+(c_1+c_3)\vec\beta+(c_2+c_3)\vec\gamma$
Uvedené rovnosti určite platia, ako $c_1+c_2=1$, $c_1+c_3=0$, $c_2+c_3=0$.
Riešením tejto sústavy dostaneme presne tie koeficieny, ktoré som napísal vyššie.
Opačná inkúzia je ešte jasnejšia. Každý z vektorov $\vec\alpha+\vec\beta$, $\vec\alpha+\vec\gamma$, $\vec\beta+\vec\gamma$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$.
Teda platí:
$\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma \in [\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$
$[\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma] \subseteq [\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$
Dokázali sme obe inklúzie, teda platí rovnosť $[\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma] = [\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$.
Komentáre, poznámky
Síce túto vec som už hovoril veľakrát, ale zopakujem ju znovu. Ak chcem nejaké tvrdenie vyvrátiť, stačí nájsť jeden konkrétny kontrapríklad. Ak chcem nejaké tvrdenie dokázať, tak to, že to vyskúšam na nejakom konkrétnom príklade nestačí. (Aj keď mi to samozrejme môže pomôcť prísť na to, prečo to funguje.)
Niekto navrhol v písomke taký kontrapríklad, kde za dva z daných vektorov zvolil $\vec0$.
Takto určite nedostaneme kontrapríklad. Ak napríklad $\vec\beta=\vec\gamma=\vec0$, tak dostaneme
$[\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=[\vec\alpha,\vec0,\vec0]=[\vec\alpha]$
$[\vec\alpha+\vec\beta, \vec\alpha+\vec\gamma, \vec\beta+\vec\gamma]=[\vec\alpha,\vec\alpha,\vec0]=[\vec\alpha]$
Takisto ste viacerí v riešeniach písali veci, ktoré vyzerali, ako keby jediný možný vektorový priestor nad poľom $F$ bol priestor $F$.
T.j. v a) ste pracovali s $V=\mathbb R$ a v b) s $V=\mathbb Z_2$. (Aspoň tak som pochopil to, čo bolo vo vašich riešeniach napísané.)
Aj v jednorozmernom priestore by sa dal nájsť kontrapríklad pre $\mathbb Z_2$. Konkrétne funguje príklad s $\vec\alpha=\vec\beta=\vec\gamma$, ktorý som spomenul vyššie.