msleziak.com

Úloha 5.1. Nech $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$, kde $V$ je ľubovoľný vektorový priestor. Dokážte: Ak $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$ sú lineárne závislé a súčasne $\vec\alpha$, $\vec\beta$ sú lineárne nezávislé, tak $\vec\gamma$ je lineárna kombinácia vektorov $\vec\alpha$ a $\vec\beta$.

Chceme dokázať, že $[\vec\alpha, \vec\beta]$ = $[\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$
Dokážeme obidve inklúzie.

1) Podmnožina $[\vec\alpha, \vec\beta] \subseteq [\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$ je zrejmá.

2) Keďže $\vec\gamma = a\vec\alpha + b\vec\beta$ (gamu vieme dostať lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha$ a $\vec\beta$),
tak potom existuje nejaký vektor $\vec\delta$, pre ktorý platí
$\vec\delta = a\vec\alpha + b\vec\beta + c\vec\gamma = a\vec\alpha + b\vec\beta + c(d\vec\alpha + e\vec\alpha) = a\vec\alpha + b\vec\beta + cd\vec\alpha + ce\vec\alpha = (a+cd)\vec\alpha + (b+ce)\vec\beta$
Čo znamená, že aj $\vec\delta \in [\vec\alpha, \vec\beta]$ , čiže platí aj opačná inklúzia.

adrianmatejov wrote: Chceme dokázať, že $[\vec\alpha, \vec\beta]$ = $[\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma]$

Toto je o trochu iná vec, ako máte podľa zadania ukázať.

adrianmatejov wrote: 2) Keďže $\vec\gamma = a\vec\alpha + b\vec\beta$ (gamu vieme dostať lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha$ a $\vec\beta$),

Na tomto mieste využívate to, čo vlastne podľa zadania máte skúsiť dokázať.

Tak skúsim riešenie sporom:

Nech $\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma$ sú LZ $\land \vec\alpha, \vec\beta$ sú LN $\land \vec\gamma$ nie je LK $\vec\alpha, \vec\beta$

Potom ale, $\vec\gamma, \vec\alpha, \vec\beta$ by mali byť lineárne nezávislé , čo je v spore s tvrdením, že $\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma$ sú lineárne závislé.

Ešte by bolo dobre vysvetliť, odkiaľ vieme toto:

adrianmatejov wrote: Potom ale, $\vec\gamma, \vec\alpha, \vec\beta$ by mali byť lineárne nezávislé

Martin Sleziak wrote:Ešte by bolo dobre vysvetliť, odkiaľ vieme toto:

adrianmatejov wrote: Potom ale, $\vec\gamma, \vec\alpha, \vec\beta$ by mali byť lineárne nezávislé

To vieme z toho, že $\vec\gamma$ nie je LK $\vec\alpha, \vec\beta$. A keďže $\vec\alpha, \vec\beta$ sú nezávislé, tak potom nezávislé budú aj $\vec\alpha, \vec\beta, \vec\gamma$

ok, značím si 1 bod.
Skúsim stručne zhrnúť.
Ak sú vektory lineárne závislé (a prvý z nich je nenulový), tak niektorý z nich je lineárnou kombináciou predchádzajúcich.
Keďže $\vec\alpha$, $\vec\beta$ sú nezávislé, môže to byť jedine $\vec\gamma$.