A Second Course on Real Functions (van Rooij, Schikhof)

[Martin Sleziak]

Na seminári na pokračovanie čítame knihu van Rooij, Schikhof: A Second Course on Real Functions.
Tu je linka na review od R.P. Boasa: http://www.jstor.org/stable/2029398

Pridám ešte dve linky:
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... hikhof.pdf
http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... oblems.pdf
Tu som si kedysi začal vypisovať vety a definície z tejto knihy (pôvodne som tam chcel mať poznačené všetky) a riešenia niektorých cvičení (tiež som dúfal, že tam budem mať všetky netriviálne cvičenia). Síce tam dosť veľa vecí chýba, ale azda to môže byť aspoň občas aj užitočné.

[Martin Sleziak]

Dnes sme sa trochu rozprávali o hneď prvej vete v dôkaze Theorem 21.10:

We have already proved the first part: if $f'>0$ a.e. on $[a,b]$, then $f$is strictly increasing.

Keď sme sa pozerali do starších kapitol, tak sme tam nič nevideli. (A Vlado, ktorý to referoval, sa vraj pozeral poriadnejšie.)

Teraz som sa ešte raz pozrel do knihy a myslím si, že keď autori napísali "We have already proved", tak mali na mysli odsek, ktorý je tesne pred touto vetou. (Niektoré časti som zvýraznil.)

For a moment, let us return to 15.8. Let $f\colon [a,b]\to\mathbb R$ be continuous, let $A\subseteq[a,b]$ and suppose that $f'(x)> 0$ for all $x\in[a,b]\setminus A$. The proof of Theorem 15.7 shows that that $f$ will be strictly increasing, provided that $f(A)$ does not contain any interval. In 15.9 we saw that $f(A)$ may very well contain an interval, even if $A$ is a null set. But we see that this cannot happen if $f$has the property (N) (and $A$ is null). Thus, we have proved part of the following theorem.

Čiže tam vlastne píšu - pozrite sa znovu na dôkaz vety 15.7. A všimnite si, že dôkaz prejde bezo zmeny, ak do predpokladov namiesto "$A$ je spočítateľná" dáme "$A$ neobsahuje interval".