Všeobecné rady sú:Určte hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in \mathbb R$:
$A=\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{pmatrix}$
* Ak sa dá, vyhýbať sa počítaniu s parametrom.
* Ak sa dá niektorý riadok vydeliť výrazom s parametrom, tak ho vydelím.
* Rozumnejšie ako bezhlavo to robiť presne podľa algoritmu z dôkazu je občas sa pozrieť, či niektorou inou úpravou si neviem uľahčiť život. (Vyhnäúť sa rátaniu so zlomkami alebo rátaniu s parametrom a pod.)
Riadkové úpravy
$\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{pmatrix}$ $
\overset{(1)}\sim
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
6 & 2c & 2c \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
0 & 2(c-3) & 2(c-3) \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\overset{(2)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\overset{(3)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & c+1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$
V kroku (1) som delil číslom $c$, teda ten je platný len ak $c\ne0$. Podobne v úprave (2) som delil $2(c-3)$ a v úprave (3) zasa výrazom $(c+1)$. teda postup, ktorý som uviedol, je v poriadku iba pre $c\ne0,3,-1$. Pre tieto hodnoty sme zistili, že hodnosť je $h(A)=3$.
Zostáva mi dosadiť hodnoty $c=0$, $c=3$, $c=-1$ do pôvodnej matice a zistiť, aká bude hodnosť v týchto 3 prípadoch. Vo všetkých troch vychádza hodnosť $h(A)=2$.
Stĺpcové úpravy
Neskôr sa na prednáške dozvieme, že $h(A)=h(A^T)$, t.j. matica a transponovaná matica majú rovnakú hodnosť. Z toho vyplýva, že môžeme pri výpočte hodnosti kombinovať riadkové a stĺpcové úpravy, alebo namiesto pôvodnej matice počítať s transponovanou maticou. Toto ukážem na inom príklade, kde to pomôže viac.
Determinanty
Ku koncu semestra sa naučíme, ako sa pre štvorcovú maticu $A$ sa dá vypočítať determinant $|A|$. A tiež sa naučíme, že ak $|A|\ne0$, tak hodnosť je rovná počtu riadkov.
Na výpočet determinantu matice $3\times3$ sa dá pozerať ako na úplne mechanické použitie vzorca, ktorý sa volá Sarrusovo pravidlo. Treba si ale dať pozor, aby sa človek nepomýlil. (Okrem Sarrusovho pravidla sa takéto determinanty dajú rátať aj použitím riadkových/stĺpcových operácií. Ale to by sme do značnej miery opakovali podobný postup, ako pri výpočte cez riadkové operácie.)
Determinant našej matice je
$$
\begin{multline*}
\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}=
c\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=\\=
c[2(c-1)+2c(c+1)-4c-4(c+1)] =
c(2c^2-4c-6)= 2c(c^2-2c-3)=2c(c-3)(c+1).
\end{multline*}
$$
Tým sme zistili, že pre $c\ne 0,-1,3$ je determinant nenulový a $h(A)=3$.
Pre tie tri zostávajúce hodnoty nám ešte treba dorátať hodnosť - ale to by už nemal byť problém. (Tam počítame s číslami, nemáme tam žiadne parametre.)