Hodnosť s parametrom

[Martin Sleziak]

Vrátim sa ku príkladu, ktorý bol na cviku. Spomenul som na cviku aj iné spôsoby ako sa dá riešiť. (Stĺpcové úpravy, determinanty.)

Určte hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in \mathbb R$:
$A=\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{pmatrix}$

Všeobecné rady sú:
* Ak sa dá, vyhýbať sa počítaniu s parametrom.
* Ak sa dá niektorý riadok vydeliť výrazom s parametrom, tak ho vydelím.
* Rozumnejšie ako bezhlavo to robiť presne podľa algoritmu z dôkazu je občas sa pozrieť, či niektorou inou úpravou si neviem uľahčiť život. (Vyhnäúť sa rátaniu so zlomkami alebo rátaniu s parametrom a pod.)

Riadkové úpravy

$\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{pmatrix}$ $
\overset{(1)}\sim
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
6 & 2c & 2c \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
0 & 2(c-3) & 2(c-3) \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\overset{(2)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\overset{(3)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & c+1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

V kroku (1) som delil číslom $c$, teda ten je platný len ak $c\ne0$. Podobne v úprave (2) som delil $2(c-3)$ a v úprave (3) zasa výrazom $(c+1)$. teda postup, ktorý som uviedol, je v poriadku iba pre $c\ne0,3,-1$. Pre tieto hodnoty sme zistili, že hodnosť je $h(A)=3$.

Zostáva mi dosadiť hodnoty $c=0$, $c=3$, $c=-1$ do pôvodnej matice a zistiť, aká bude hodnosť v týchto 3 prípadoch. Vo všetkých troch vychádza hodnosť $h(A)=2$.

Stĺpcové úpravy

Neskôr sa na prednáške dozvieme, že $h(A)=h(A^T)$, t.j. matica a transponovaná matica majú rovnakú hodnosť. Z toho vyplýva, že môžeme pri výpočte hodnosti kombinovať riadkové a stĺpcové úpravy, alebo namiesto pôvodnej matice počítať s transponovanou maticou. Toto ukážem na inom príklade, kde to pomôže viac.

Determinanty

Ku koncu semestra sa naučíme, ako sa pre štvorcovú maticu $A$ sa dá vypočítať determinant $|A|$. A tiež sa naučíme, že ak $|A|\ne0$, tak hodnosť je rovná počtu riadkov.

Na výpočet determinantu matice $3\times3$ sa dá pozerať ako na úplne mechanické použitie vzorca, ktorý sa volá Sarrusovo pravidlo. Treba si ale dať pozor, aby sa človek nepomýlil. (Okrem Sarrusovho pravidla sa takéto determinanty dajú rátať aj použitím riadkových/stĺpcových operácií. Ale to by sme do značnej miery opakovali podobný postup, ako pri výpočte cez riadkové operácie.)

Determinant našej matice je
$$
\begin{multline*}
\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}=
c\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=\\=
c[2(c-1)+2c(c+1)-4c-4(c+1)] =
c(2c^2-4c-6)= 2c(c^2-2c-3)=2c(c-3)(c+1).
\end{multline*}
$$
Tým sme zistili, že pre $c\ne 0,-1,3$ je determinant nenulový a $h(A)=3$.
Pre tie tri zostávajúce hodnoty nám ešte treba dorátať hodnosť - ale to by už nemal byť problém. (Tam počítame s číslami, nemáme tam žiadne parametre.)

[mkralik]

Stále však platí, že ak si nevieme dať rady na písomke a nenapadajú nás úpravy ako sa "vyhnúť parametru", príklady sa často dajú riešiť aj narovinu.

Určte hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in \mathbb R$:
$A=\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{pmatrix}$

When in doubt, use brute force. -Ken Thompson

Zopakujme si čo je vlastne naším cieľom. Určujeme hodnosť danej matice, teda dimenziu podpriestoru ňou generovaného. (Def. 5.2.12)
Vieme tiež, vďaka sedliackemu rozumu a vete 5.2.10, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé, preto ich počet bude zároveň dimenziou priestoru generovaného maticou.

Aký je postup, ak chceme "natvrdo" upraviť maticu na RTM? Budeme opakovať nasledovné kroky:
a)vydelíme riadok, aby sme dostali vedúcu jednotku
b)ošetríme podmienky parametra, kedy bolo to čím sme delili rovné nule
c)od ostatných riadkov odpočítame potrebné násobky, tak aby v nich v stĺpci, kde je v aktuálnom riadku vedúca jednotka, boli nuly
d)posunieme sa na ďalší riadok

Konkrétne.
$A=\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & c-1-4 {(c+1)\over 2} & 2c \\
0 & c - c{(c+1) \over 2} & c
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & -c-3 & 2c \\
0 & 2c-c^2-c \over 2 & c
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & c+3 & -2c \\
0 & c-c^2 \over 2 & c
\end{pmatrix}
\overset{(c \neq -3)}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & 1 & -2c \over c+3 \\
0 & c-c^2 \over 2 & c
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & 1 & -2c \over c+3 \\
0 & c(1-c) \over 2 & c
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & 1 & -2c \over c+3 \\
0 & 0 & c - {c(1-c) \over 2}{-2c \over c+3}
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & 1 & -2c \over c+3 \\
0 & 0 & {c(c+3)\over c+3 }- {c(1-c)(-c) \over c+3}
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & 1 & -2c \over c+3 \\
0 & 0 & -c^3 +2c^2+3c \over c+3
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & 1 & -2c \over c+3 \\
0 & 0 & -c(c^2-2c-3) \over c+3
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & 1 & -2c \over c+3 \\
0 & 0 & -c(c-3)(c+1) \over c+3
\end{pmatrix}
\overset{(c \neq -1,0,\pm 3)}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & c+1\over 2 & 0 \\
0 & 1 & -2c \over c+3 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

Už v predposlednej úprave dostávame RTM a následne aj jednotkovú maticu, z čoho vyplýva, že okrem špeciálnych prípadov, má matica hodnosť $h(A)=3$.
V špeciálnych prípadoch $c=0,3,-1$ dosadením a úpravou dostávame $h(A)=2$.
Oproti vzorovému riešeniu sme dostali aj prípad $c=-3$, kedy platí opäť $h(A)=3$.

Pozn. Pri rôznych riešeniach sme mohli dostať rôzne špeciálne prípady, kedy vyšla hodnosť tiež 3, prípadne sa nejakým vyhnúť. To je ale v poriadku, vyplýva to z použitia rôznych úprav a nemení to nič na korektnosti riešenia.

[Martin Sleziak]

Stále však platí, že ak si nevieme dať rady na písomke a nenapadajú nás úpravy ako sa "vyhnúť parametru", príklady sa často dajú riešiť aj narovinu.

Neviem, či to zafunguje skôr ako odstrašujúci príklad - že sa treba obzerať po nejakých zjednodušeniach, aby človek nemusel priveľa rátať s takýmito výrazmi. Alebo či ste naopak presvedčili kolegov, že sa to dá bez veľkých problémov zrátať i takto. každopádne si však značím 1 bod.