msleziak.com

Určte hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in \mathbb R$:
$A=\begin{pmatrix}
1 & c & -1 & 2 \\
2 & -1 & c & 5 \\
1 & 10 & -6 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Riadkové operácie

$\begin{pmatrix}
1 & c & -1 & 2 \\
2 & -1 & c & 5 \\
1 & 10 & -6 & 1
\end{pmatrix} \overset{(1)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & c & -1 & 2 \\
0 &-1-2c &c+2& 1 \\
0 &10-c& -5 & -1
\end{pmatrix} \overset{(2)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & c & -1& 2 \\
0 &9-3c&c-3& 0 \\
0 &10-c& -5&-1
\end{pmatrix} \overset{(3)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & c & -1& 2 \\
0 & -3 & 1& 0 \\
0 &10-c& -5&-1
\end{pmatrix} \sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &c-3 & 0& 2 \\
0 & -3 & 1& 0 \\
0 &-5-c& 0&-1
\end{pmatrix} \sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-c-13& 0& 0 \\
0 & -3 & 1& 0 \\
0 &-5-c& 0&-1
\end{pmatrix} \sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-c-13& 0& 0 \\
0 & -3 & 1& 0 \\
0 &-5-c& 0& 1
\end{pmatrix}
$

Použité úpravy (s komentármi):
(1): Odčítal som prvý riadok od tretieho a dvojnásobok prvého riadku od druhého. (V prvom riadku sú pomerne malé čísla, tak som si povedal, že skúsim použiť ten.)
(2): Pripočítal som tretí riadok k druhému. (Chcel som vyrobiť nejaké ďalšie nuly. Pretože štvrtý stĺpec je bez parametrov, zdalo sa rozumné využiť ten, aby som sa vyhol počítaniu s parametrami.)
(3): Vydelil som druhý riadok $c-3$. Teda táto úprava je platná iba ak $c\ne 3$; aby som nedelil nulou. (Všimol som si, že všetky prvky v tomto riadku sú násobky $c-3$, takže sa mi oplatí urobiť takúto úpravu, lebo dostanem riadok, ktorý vôbec neobsahuje parametre.)

Matica, ktorá mi vyšla na konci má hodnosť $3$. (Teda hodnosť je rovná $3$ pre $c\ne3$.)
Ešte sa potrebujem zvlášť pozrieť na prípad $c=3$, vtedy dostaneme $h(A)=2$.

Transponovaná matica/stĺpcové operácie

Neskôr sa na prednáške dozvieme, že $h(A)=h(A^T)$, t.j. matica a transponovaná matica majú rovnakú hodnosť. Z toho vyplýva, že môžeme pri výpočte hodnosti kombinovať riadkové a stĺpcové úpravy, alebo namiesto pôvodnej matice počítať s transponovanou maticou.

Poďmte teda skúsiť počítať s transponovanou maticou (ktorá má ako riadky stĺpce pôvodnej matice) a uvidíme, či nám to nezjednoduší výpočet.

$A^T=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
c &-1 &10 \\
-1 & c &-6 \\
2 & 5 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 &-1-2c&10-c \\
0 &c+2 &-5 \\
0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 &-1-2c&10-c \\
0 &c-3 & 0 \\
0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 &-1-2c&10-c \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 &-1-2c&10-c \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

Úprava označená $(1)$ je v poriadku iba pre $c\ne3$ (teda tento prípad si treba rozmyslieť zvlášť).
Ale aspoň pre $c\ne 3$ sme zistili, že $h(A)=h(A^T)=3$.

Determinanty

Ku koncu semestra sa naučíme, ako sa pre štvorcovú maticu $A$ sa dá vypočítať determinant $|A|$. A tiež sa naučíme, že ak $|A|\ne0$, tak hodnosť je rovná počtu riadkov.

V tejto úlohe však máme problém - determinanty sa dajú rátať iba pre štvorcové matice.

Skúsme si však vybrať nejaké tri stĺpce tejto matice (najlepšie také, aby sa nám ľahko spočítal determinant) a vyrátať ho:

Pre maticu $B=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 \\
2 & c & 5 \\
1 & -6 & 1
\end{pmatrix}$
máme determinant
$|B|=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
2 & c & 5 \\
1 & -6 & 1
\end{vmatrix}=
c-5-24-2c+30+2 =-c+3 $

Vidíme, že tento determinant je nenulový pre $c\ne3$, a teda pre takéto hodnoty parametra máme $h(B)=3$.
Pretože hodnosť podmatice je rovná $3$, aj hodnosť celej matice musí byť aspoň $3$. (Vedeli by ste povedať prečo platí $h(A)\ge h(B)$? Môže pomôcť to, že vieme, ako transponovanie nemení hodnosť matice. Ale malo by sa to dať zdôvodniť aj bez toho.)
Súčasne je hodnosť matice $A$ najviac $3$. (Lebo má iba tri riadky.)

Zistili sme aj takýmto postupom, že pre $c\ne3$ platí $h(A)=3$.
(A prípade $c=3$ by sme dopočítali zvlášť.)