Súčty podpriestorov
Posted: Mon Nov 30, 2015 8:15 pm
Skupina A
Štandardný postup je vypočítať $\dim S$, $\dim T$ pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar.
Taký istý postup môžeme použiť na výpočet dimenzie priestoru $S+T$. Tu použijeme maticu, ktorej riadkami sú generátory $S$ a generátory $T$. (Zrejme ná zjednoduší výpočty, ak použijeme už zjednodušené vektory, ktoré nám vyšli v prvej časti.)
Dimenziu prieniku môžeme potom vyjadriť z Grassmanovej formuly: $\dim (S\cap T)=\dim(S)+\dim(T)-\dim(S+T)$.
V oboch skupinách sú správne výsledky:
$\dim(S)=3$
$\dim(T)=2$
$\dim(S+T)=4$
$\dim(S\cap T)=1$
Konkrétne výpočty nájdete uvedené nižšie.
Skupina A:
Báza a dimenzia $S$:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 &-1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 &-1 \\
0 &-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 2 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 3 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že $S$ má dimenziu 3, jeho báza je tvorená vektormi $(1,0,0,1),(0,1,0,-1),(0,0,1,1)$.
Báza a dimenzia $T$:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-1 \\
0 &-1 &-1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že $T$ má dimenziu $2$ a bázu tvorenú vektormi $(1,0,0,2)$, $(0,1,1,-1)$.
Teraz už nie je ťažké nájsť dimenziu súčtu $S+T$:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Teda $S+T=\mathbb R^4$ a $\dim(S+T)=4$.
Dostaneme, že $\dim(S\cap T)=\sim(S)+\dim(T)-\dim(S+T)=3+2-4=1$.
V tomto prípade by sa dalo asi aj uhádnuť, že $(1,1,1,1)\in S\cap T$.
Skupina B:
Báza a dimenzia $S$:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 &-1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
Vidíme, že $S$ má dimenziu 3 a jeho bázou je napríklad trojice $(1,0,0,2)$, $(0,1,0,-1)$, $(0,0,1,1)$.
Báza a dimenzia $T$:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 3 & 5 &-1 \\
1 & 1 & 2 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 3 & 5 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
V druhom kroku sme od tretieho riadku odrátali prvý aj druhý.
Bázu a dimenziu $S+T$ nájdeme takto:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že $S+T=\mathbb R^4$ a $\dim(S+T)=4$.
Potom $\dim(S\cap T)=\sim(S)+\dim(T)-\dim(S+T)=3+2-4=1$.
Niekto z vás rátal aj bázu prieniku a zistil, že $S\cap T=[(1,5,6,3)]$.
Komentár k riešeniam
Oplatí sa robiť skúšku. Mnohí ste mali vo výpočtoch numerické chyby, pri nej by ste na ne prišli.
viewtopic.php?t=531
Našli sa ľudia, ktorí tvrdili, že $\dim(S+T)=6$. Pretože $S+T$ je podpriestor priestoru $\mathbb R^4$, jeho dimenzia môže byť najviac $4$.
Pýtal som sa iba na dimenziu $S\cap T$, nebolo treba hľadať bázu tohoto priestoru. Našli sa však ľudia, čo zrátali aj bázu. (A dostali aj správny výsledok.)
Ak sa chcete pozrieť, aký príklad na súčty podpriestorov bol na písomke vlani: viewtopic.php?t=530
Skupina BVypočítajte $\dim(S+T)$ a $\dim(S\cap T)$ pre zadané podpriestory priestoru $\mathbb R^4$.
$S=[(1,2,1,0),(2,2,1,1),(1,-1,1,3)]$ a $T=[(1,2,2,0),(2,1,1,3),(1,1,1,1)]$
Riešenie:Vypočítajte $\dim(S+T)$ a $\dim(S\cap T)$ pre zadané podpriestory priestoru $\mathbb R^4$.
$S=[(1,2,1,1),(2,2,1,3),(1,1,1,2)]$ a $T=[(1,2,3,0),(2,3,5,-1),(1,1,2,-1)]$
Štandardný postup je vypočítať $\dim S$, $\dim T$ pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar.
Taký istý postup môžeme použiť na výpočet dimenzie priestoru $S+T$. Tu použijeme maticu, ktorej riadkami sú generátory $S$ a generátory $T$. (Zrejme ná zjednoduší výpočty, ak použijeme už zjednodušené vektory, ktoré nám vyšli v prvej časti.)
Dimenziu prieniku môžeme potom vyjadriť z Grassmanovej formuly: $\dim (S\cap T)=\dim(S)+\dim(T)-\dim(S+T)$.
V oboch skupinách sú správne výsledky:
$\dim(S)=3$
$\dim(T)=2$
$\dim(S+T)=4$
$\dim(S\cap T)=1$
Konkrétne výpočty nájdete uvedené nižšie.
Skupina A:
Báza a dimenzia $S$:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
1 &-1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 &-1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
1 &-1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 &-1 \\
0 &-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 2 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 3 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že $S$ má dimenziu 3, jeho báza je tvorená vektormi $(1,0,0,1),(0,1,0,-1),(0,0,1,1)$.
Báza a dimenzia $T$:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-1 \\
0 &-1 &-1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že $T$ má dimenziu $2$ a bázu tvorenú vektormi $(1,0,0,2)$, $(0,1,1,-1)$.
Teraz už nie je ťažké nájsť dimenziu súčtu $S+T$:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Teda $S+T=\mathbb R^4$ a $\dim(S+T)=4$.
Dostaneme, že $\dim(S\cap T)=\sim(S)+\dim(T)-\dim(S+T)=3+2-4=1$.
V tomto prípade by sa dalo asi aj uhádnuť, že $(1,1,1,1)\in S\cap T$.
Skupina B:
Báza a dimenzia $S$:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 &-1 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
Vidíme, že $S$ má dimenziu 3 a jeho bázou je napríklad trojice $(1,0,0,2)$, $(0,1,0,-1)$, $(0,0,1,1)$.
Báza a dimenzia $T$:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 3 & 5 &-1 \\
1 & 1 & 2 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 3 & 5 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 &-1 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
V druhom kroku sme od tretieho riadku odrátali prvý aj druhý.
Bázu a dimenziu $S+T$ nájdeme takto:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-2 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že $S+T=\mathbb R^4$ a $\dim(S+T)=4$.
Potom $\dim(S\cap T)=\sim(S)+\dim(T)-\dim(S+T)=3+2-4=1$.
Niekto z vás rátal aj bázu prieniku a zistil, že $S\cap T=[(1,5,6,3)]$.
Komentár k riešeniam
Oplatí sa robiť skúšku. Mnohí ste mali vo výpočtoch numerické chyby, pri nej by ste na ne prišli.
viewtopic.php?t=531
Našli sa ľudia, ktorí tvrdili, že $\dim(S+T)=6$. Pretože $S+T$ je podpriestor priestoru $\mathbb R^4$, jeho dimenzia môže byť najviac $4$.
Pýtal som sa iba na dimenziu $S\cap T$, nebolo treba hľadať bázu tohoto priestoru. Našli sa však ľudia, čo zrátali aj bázu. (A dostali aj správny výsledok.)
Ak sa chcete pozrieť, aký príklad na súčty podpriestorov bol na písomke vlani: viewtopic.php?t=530