Patrí daný vektor do podpriestoru?
Posted: Mon Nov 30, 2015 8:16 pm
Skupina A:
V oboch skupinách bol zadaný ten istý podpriestor. (Stačí si všimnúť, že $(4,3,2,1)=-(1,2,3,4)$.)
Správny výsledok má byť, že $\vec a\in S$.
Vlastne sme sa učili dva štandardne postupy.
Jeden je zostaviť sústavu, ktorá hovorí, že $\vec a$ je lineárna kombinácia zadaných vektorov.
Druhá možnosť je upraviť zadanú maticu na redukovaný tvar a potom sa pozrieť, či $\vec a$ patrí do podpriestoru generovaného riadkami.
Riešenie pomocou riadkových úprav:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 1 & 4 \\
2 & 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}$
Teraz sa stačí pozrieť v zadanom vektore na pozície, kde nemáme vedúce jednotky. Tam vidíme koeficienty $1$, $1$ a $1$. Môžeme sa presvedčiť, že
$1\cdot(1,0,0,1)+1\cdot(0,1,0,2)+1\cdot(0,0,1,3)=(1,1,1,1)$.
Teda $\vec a\in S$.
Riešenie pomocou sústavy[/o]
Hľadáme koeficienty také, že $c_1(1,2,3,4)+c_2(2,2,1,4)+c_3(2,1,2,0)=(1,1,1,1)$.
$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 1 \\
4 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 4 \\
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 3 & 2 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 3 & 0 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$
Zistili sme, že $c_1=3$, $c_2=1$, $c_3=3$.
Môžeme skontrolovať, že skutočne platí $3\cdot(1,2,3,4)+(2,2,1,4)+3\cdot(2,1,2,0)=(1,1,1,1)$.
Komentáre, poznámky
Niektorí ste rátali úlohu nad $\mathbb R$ namiesto $\mathbb Z_5$. (Tým ste si sťažili počítanie - nad $\mathbb Z_5$ by vám nemohli vyjsť zlomky.)
Niektorí ste rátali sčasti v $\mathbb Z_5$, ale namiesto násobenia inverzným prvkom ste nakoniec napísali zlomky. T.j. vo výslednej matici ste nechali veci ako napríklad $\frac12$, $\frac32$.
Viacerí ste (chybne) ukázali, že tri zadané vektory a vektor $\vec a$ sú lineárne nezávislé. Na základe toho ste tvrdili, že vektor $\vec a$ patrí do podpriestoru $S$. Ak by váš výpočet bol správny a tieto vektory by naozaj boli lineárne nezávislé, tak by potom muselo platiť $\vec a\notin S$.
Príklady z minulého roku na úpravu na redukovaný trojuholníkový tvar sa dajú pozrieť tu: viewtopic.php?t=529
Skupina B:Zistite, či zadaný vektor $\vec a$ patrí do podpriestoru $S$ priestoru $\mathbb Z_5^3$.
$\vec a=(1,1,1,1)$, $S=[(1,2,3,4),(2,2,1,4),(2,1,2,0)]$
RiešenieZistite, či zadaný vektor $\vec a$ patrí do podpriestoru $S$ priestoru $\mathbb Z_5^3$.\\
$\vec a=(1,1,1,1)$, $S=[(4,3,2,1),(2,2,1,4),(2,1,2,0)]$
V oboch skupinách bol zadaný ten istý podpriestor. (Stačí si všimnúť, že $(4,3,2,1)=-(1,2,3,4)$.)
Správny výsledok má byť, že $\vec a\in S$.
Vlastne sme sa učili dva štandardne postupy.
Jeden je zostaviť sústavu, ktorá hovorí, že $\vec a$ je lineárna kombinácia zadaných vektorov.
Druhá možnosť je upraviť zadanú maticu na redukovaný tvar a potom sa pozrieť, či $\vec a$ patrí do podpriestoru generovaného riadkami.
Riešenie pomocou riadkových úprav:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 1 & 4 \\
2 & 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}$
Teraz sa stačí pozrieť v zadanom vektore na pozície, kde nemáme vedúce jednotky. Tam vidíme koeficienty $1$, $1$ a $1$. Môžeme sa presvedčiť, že
$1\cdot(1,0,0,1)+1\cdot(0,1,0,2)+1\cdot(0,0,1,3)=(1,1,1,1)$.
Teda $\vec a\in S$.
Riešenie pomocou sústavy[/o]
Hľadáme koeficienty také, že $c_1(1,2,3,4)+c_2(2,2,1,4)+c_3(2,1,2,0)=(1,1,1,1)$.
$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 1 \\
4 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 4 \\
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 3 & 2 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 3 & 0 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$
Zistili sme, že $c_1=3$, $c_2=1$, $c_3=3$.
Môžeme skontrolovať, že skutočne platí $3\cdot(1,2,3,4)+(2,2,1,4)+3\cdot(2,1,2,0)=(1,1,1,1)$.
Komentáre, poznámky
Niektorí ste rátali úlohu nad $\mathbb R$ namiesto $\mathbb Z_5$. (Tým ste si sťažili počítanie - nad $\mathbb Z_5$ by vám nemohli vyjsť zlomky.)
Niektorí ste rátali sčasti v $\mathbb Z_5$, ale namiesto násobenia inverzným prvkom ste nakoniec napísali zlomky. T.j. vo výslednej matici ste nechali veci ako napríklad $\frac12$, $\frac32$.
Viacerí ste (chybne) ukázali, že tri zadané vektory a vektor $\vec a$ sú lineárne nezávislé. Na základe toho ste tvrdili, že vektor $\vec a$ patrí do podpriestoru $S$. Ak by váš výpočet bol správny a tieto vektory by naozaj boli lineárne nezávislé, tak by potom muselo platiť $\vec a\notin S$.
Príklady z minulého roku na úpravu na redukovaný trojuholníkový tvar sa dajú pozrieť tu: viewtopic.php?t=529