Prvočísla v aritmetickej postupnosti
Posted: Thu Dec 03, 2015 3:07 pm
V súvislosti s tým, že som spomínal Dirichletovu vetu a tiež to, že aspoň nejaké špeciálne prípade vieme ukázať aj pomerne elementárnymi prostriedkami, padla aj otázka, že ktoré sú tie prípady, kedy to vieme ukázať elementárne. V žiadnom prípade netvrdím, že toto je úplný zoznam, ale je to aspoň nejaký zoznam. Je to z knihy Elementary Theory of Numbers (Wacław Sierpiński), s. 128.
Ešte pridám takúto linku, ak by bola pre vás zaujímavá: Is a “non-analytic” proof of Dirichlet's theorem on primes known or possible? (MathOverflow).6. Primes in a given arithmetical progression
Therefore a necessary condition for the existence of infinitely many primes in an arithmetical progression $ak+b$ is that $(a,b) = 1$.
In the year 1837 Lejeune Dirichlet proved that this condition is also sufficient. The proof given by Lejeune Dirichlet is not elementary.
....
We shall prove in the sequel several particular cases of this theorem: in Chapter V with $a = 4$, $b = 1,3$ (Theorems 7 and 7a), in Chapter VI with $b = 1$, $a$ being arbitrary (Theorem 11a), in Chapter IX with $a = 8$, $b = 3, 5, 7$ (Theorems 1, 2, 3) and with $a = 5, b = 4$ (Theorem 4).