Doplnte vektory $1+2\sqrt3$, $y=2-3\sqrt3$ do bazy

[adrianmatejov]

Chcel by som sa spýtať na takúto úlohu:
Máme vektory:
$1+2\sqrt(3) , 2-3\sqrt(3) \in \{a+b\sqrt(3); a,b \in Q\}$
Ak sa to dá, doplňte ich na bázu príslušného vektorového priestoru.

Ako treba postupovať pri takomto type príkladu? Treba si to nejako zapísať do matice a upravovať na RTM?

[Martin Sleziak]

Chcel by som sa spýtať na takúto úlohu:
Máme vektory:
$1+2\sqrt(3) , 2-3\sqrt(3) \in \{a+b\sqrt(3); a,b \in Q\}$
Ak sa to dá, doplňte ich na bázu príslušného vektorového priestoru.

Ako treba postupovať pri takomto type príkladu? Treba si to nejako zapísať do matice a upravovať na RTM?

Vieme, že:

• $F=\{a+b\sqrt(3); a,b \in Q\}$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$ (je to podpriestor $\mathbb R$);
• vektory $1$ a $\sqrt3$ sú lineárne nezávislé v tomto priestore.

(Premyslite si obe veci, ktoré tu spomínam; najmä ak nie sú jasné.)

To znamená, že báza vektorového priestoru $F$ je tvorená vektormi $1$, $\sqrt3$.
Zadané vektory $x=1+2\sqrt3$ a $y=2-3\sqrt3$ majú súradnice v tejto báze $(1,2)$ a $(2,-3)$. T.j. zistiť, či sú lineárne nezávislé, je to isté ako zistiť či sú nezávislé vektory $(1,2)$ a $(2,-3)$ v priestore $\mathbb Q^2$.

To isté sa dá povedať ešte inak.

Ak si napíšem podmienku na lineárnu nezávislosť
$c_1(1+2\sqrt3)+c_2(2-3\sqrt3)=0$
tak po úprave dostanem
$(c_1+2c_2)+(2c_1-3c_2)\sqrt3=0$.
Ak som už predtým ukázal, že $1$ a $\sqrt3$ sú lineárne nezávislé (v priestore, v ktorom pracujeme v tejto úlohe), tak z toho dostávame sústavu rovníc
$c_1+2c_2=0$
$2c_1-3c_2=0$
ktorá má jediné riešenie $c_1=c_2=0$.

(Všimnite si, že sme dostali rovnakú sústavu ako pri overovaní nezávislosti vektorov $(1,2)$ a $(2,-3)$.)

[Martin Sleziak]

Poznámka k TeX-u: Odmocninu z 3 môžem zapísať takto:

$\sqrt3$ alebo $\sqrt{3}$

Code: Select all

$\sqrt3$ alebo $\sqrt{3}$

Všeobecne parameter píšem do kučeravých zátvoriek, tie môžem vynechať, ak parameter je iba jedna vec. Príklady:

$\sqrt{\alpha}$ a $\sqrt\alpha$

$\sqrt{x+1}$ a $\sqrt x + 1$

Code: Select all

$\sqrt{\alpha}$ a $\sqrt\alpha$

$\sqrt{x+1}$ a $\sqrt x + 1$

Odmocniny som stručne spomenul tu: viewtopic.php?f=8&t=8

[adrianmatejov]

Aha, takže $1$ a $\sqrt{3}$ by sme mohli prepísať aj ako $1+0\sqrt{3}$ a $0+1\sqrt{3}$ ?
A tento priestor generujú takto: (?)
$a*(1, 0) + b*(0, \sqrt{3})$
a tieto naše vektory takto nejako: (?)
$a*(1, 2\sqrt{3}) + b*(2, -3\sqrt{3})$

[Martin Sleziak]

Aha, takže $1$ a $\sqrt{3}$ by sme mohli prepísať aj ako $1+0\sqrt{3}$ a $0+1\sqrt{3}$ ?
A tento priestor generujú takto: (?)
$a*(1, 0) + b*(0, \sqrt{3})$
a tieto naše vektory takto nejako: (?)
$a*(1, 2\sqrt{3}) + b*(2, -3\sqrt{3})$

Zápis $a*(1, 0) + b*(0, \sqrt{3})$ sa mi priveľmi nepozdáva. (Nie je jasné, čo sa ním myslí.)
Možno ste chceli napísať $a(1+0\sqrt3)+b(0+1\sqrt3)$.

Ešte k veciam, čo som spomínal vyššie, doplním, že máme izomorfizmus
$a+b\sqrt3 \mapsto (a,b)$
medzi $F$ a $\mathbb Q^2$.

Takže prvok $a+b\sqrt3$ zodpovedá dvojici $(a,b)$.

[Martin Sleziak]

Ešte som asi mal napísať aj to, že sme v dvojrozmernom priestore a tieto vektory sú lineárne nezávislé. To znamená, že tvoria bázu. (Čiže odpoveď je v tomto prípade, že k daným vektorom už netreba pridať žiadny ďalší vektor a máme bázu.)