Hamelova báza v Banachových priestoroch
Posted: Tue Dec 08, 2015 1:03 pm
Tie poznámky, z ktorých časť som odprednášal na seminári sa dajú nájsť tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... /hamel.pdf
(Zatiaľ som neopravil začiatok dôkazu Theorem 3, kde treba v indukčnom kroku $x_{k+1}$ vyberať nie len tak, aby nebol v $[x_1,\dots,x_k]$, ale aj aby ležal v $\operatorname{Ker} x_1^*\cap\dots\cap \operatorname{Ker} x_k^*$.)
Dôkaz som robil presne podľa článku H. Elton Lacey: The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 3 (Mar., 1973), p. 298, http://www.jstor.org/stable/2318458
Dá sa nájsť aj tu (kde som sa o ňom dozvedel ja): Cardinality of a Hamel basis.
Keby sme chceli ukázať iba to, že báza Banachovho priestoru je nespočítateľná, dá sa to urobiť pomocou Baireovej vety o kategórii, tak ako je to urobené tu: Let $X$ be an infinite dimensional Banach space. Prove that every Hamel basis of X is uncountable. To je o čosi slabší výsledok: Tvrdenie, že $\dim(X)\ge\mathfrak c$ je silnejšie ako $\dim(X)\ge\aleph_1$.
Pridám ešte dve linky súvisiace s nekonečnorozmernými Banachovými priestormi a Hamelovou bázou; konkrétne sa tam hovorí o tom, že na každom nekonečnorozmernom Banachovom priestore existuje nespojitý lineárny funkcionál:
* Discontinuous linear functional
* On every infinite-dimensional Banach space there exists a discontinuous linear functional
(Zatiaľ som neopravil začiatok dôkazu Theorem 3, kde treba v indukčnom kroku $x_{k+1}$ vyberať nie len tak, aby nebol v $[x_1,\dots,x_k]$, ale aj aby ležal v $\operatorname{Ker} x_1^*\cap\dots\cap \operatorname{Ker} x_k^*$.)
Dôkaz som robil presne podľa článku H. Elton Lacey: The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 3 (Mar., 1973), p. 298, http://www.jstor.org/stable/2318458
Dá sa nájsť aj tu (kde som sa o ňom dozvedel ja): Cardinality of a Hamel basis.
Keby sme chceli ukázať iba to, že báza Banachovho priestoru je nespočítateľná, dá sa to urobiť pomocou Baireovej vety o kategórii, tak ako je to urobené tu: Let $X$ be an infinite dimensional Banach space. Prove that every Hamel basis of X is uncountable. To je o čosi slabší výsledok: Tvrdenie, že $\dim(X)\ge\mathfrak c$ je silnejšie ako $\dim(X)\ge\aleph_1$.
Pridám ešte dve linky súvisiace s nekonečnorozmernými Banachovými priestormi a Hamelovou bázou; konkrétne sa tam hovorí o tom, že na každom nekonečnorozmernom Banachovom priestore existuje nespojitý lineárny funkcionál:
* Discontinuous linear functional
* On every infinite-dimensional Banach space there exists a discontinuous linear functional