msleziak.com

Matica zobrazenia

Skupina A

Zistite, či existuje lineárne zobrazenie $f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^4$, ktoré spĺňa zadané podmienky. Ak áno, nájdite maticu aspoň jedného takého zobrazenia. Ak nie, tak zdôvodnite, prečo také zobrazenie neexistuje.
$f(1,1,2)=(1,1,3,1)$, $f(0,1,3)=(2,1,0,1)$, $f(2,1,1)=(0,1,1,3)$.

Skupina B

Zistite, či existuje lineárne zobrazenie $f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^4$, ktoré spĺňa zadané podmienky. Ak áno, nájdite maticu aspoň jedného takého zobrazenia. Ak nie, tak zdôvodnite, prečo také zobrazenie neexistuje.
$f(2,1,1)=(1,1,3,1)$, $f(3,1,0)=(2,1,0,1)$, $f(1,1,2)=(0,1,1,3)$.

Riešenie:

Skupina A:
$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
0 &-1 &-3 &-2 &-1 &-5 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-5 & 2
\end{array}\right)$
Pre zobrazenie spĺňajúce zadané podmienky by muselo platiť $f(0,0,0,0)=(0,-5-2)$. Teda také lineárne zobrazenie neexistuje. (Vieme, že pre lineárne zobrazenie vždy platí $f(\vec 0)=f(\vec 0)$.)

Môžete si všimnúť, že zadanie v skupine B je v podstate rovnaké, len sme povymieňali súradnice vektorov v $\mathbb R^3$. Pre úplnosť sem ale dám aj nejaké riešenie tejto skupiny.

$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\
0 &-1 &-3 & 1 &-1 & 1 &-5 \\
0 &-2 &-6 & 2 &-2 &-3 &-8
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 &-1 & 1 &-1 & 5 \\
0 &-1 &-3 & 1 &-1 &-\frac32 &-4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 &-1 & 1 &-1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-\frac52 & 1
\end{array}\right)$

Ešte poznamenám, že v oboch skupinách sa dalo zbadať, že $2\vec a_1-\vec a_2-\vec a_3=\vec 0$, kde ako $\vec a_i$ som označil zadané vektory. (T.j. zadanie je tvaru $f(\vec a_1)=\vec b_1$, $f(\vec a_2)=\vec b_2$, $f(\vec a_3)=\vec b_3$.)
Z linearity potom dostaneme, že musí platiť aj $2\vec b_1-\vec b_2-\vec b_3=\vec 0$. Ak sme si všimli (alebo nejako vypočítali) takúto vlastnosť, tak nám stačí skontrolovať, že vektory $\vec b_1$ tejto podmienke nevyhovujú.


Komentár k riešeniam

Viem z hodností povedať niečo o neexistencii riešenia?

Prepíšem sem ako vyzeralo jedno z odovzdaných riešení. A tiež napíšem komentár k tomu, čo tam nie je dobre a či by niečo podobné mohlo pomôcť k správnemu riešeniu.

$f(1,1,2)=(1,1,3,1)$
$f(0,1,3)=(2,1,0,1)$
$f(2,1,1)=(0,1,1,3)$.

lineárne zobrazenie $\Leftrightarrow$ existuje inverzná matica
matica je regulárna, $h(A)=n$ $\Rightarrow$ existuje inverzná matica

$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 &-1 &-3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

$h(A)=2$
$2<3$ (počet riadkov)
$h(A)\ne n$

Neexistuje inverzná matica, takže zobrazenie $f$ za daných podmienok nie je lineárne.

Nie som si istý, čo presne bolo myslené tým, že "lineárne zobrazenie $\Leftrightarrow$ existuje inverzná matica". Ale aj odhliadnuc od toho, samotný fakt, že zadané vektory generujú podpriestor dimenzie dva nám nestačí na to, aby sme zistili, že lineárne zobrazenie vyhovujúce zadaniu neexistuje.

Skúste si predstaviť, že by sme zmenili zadanie tak, že $f(1,1,2)=(0,0,0,0)$, $f(0,1,3)=(0,0,0,0)$, $f(2,1,1)=(0,0,0,0)$.
Očividne, zobrazenie $f(x,y,z)=(0,0,0,0)$ vyhovuje podmienkam zo zadania.
Takže by malo byť vidno, že nejakú úlohu zohrávajú aj zadané vektory z $\mathbb R^4$.

To, čo ste vyrátali uvedeným výpočtom, je to, že dimenzia podpriestoru $[(1,1,2),(0,1,3),(2,1,1)]$ je dva.
Ak by ste urobili podobný výpočet pre $[(1,1,3,1),(2,1,0,1),(0,1,1,3)]$, zistili by ste, že tento podpriestor má dimenziu tri.
Argument, že priestor dimenzie 3 nemôžem dostať ako obraz priestoru dimenzie 2 by bol správny.
Určite však nemôžete dostať záver o neexistencii takéhoto lineárneho zobrazenia bez toho, že by ste akýmkoľvek spôsobom využili zadané obrazy.

Ešte poznamenám, že tento argument by v tomto prípade síce fungoval, ale ak by zadanie boli iné nemusel by nám pomôcť. Ak by nám vyšla hodnosť rovnaká, tak z toho ešte nevieme nič povedať o tom, či také zobrazenie existuje alebo nie. A ak by bolo zadanie tak, že existuje zobrazenie vyhovujúce zadaným podmienkam, tak potrebujeme ešte aj nájsť maticu (aspoň jedného) takého zobrazenia.

Inverzná matica

Skupina A:

Nájdite inverznú maticu k zadanej matici nad poľom $\mathbb Z_5$:
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}$$

Skupina B:

Nájdite inverznú maticu k zadanej matici nad poľom $\mathbb Z_5$:
$$B=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 1 & 3
\end{pmatrix}$$

Riešenie

V skupine A dostaneme:
$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 4 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 4 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 3 & 1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 2 & 3 & 0 & 2 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 3 & 1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 4 & 0 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 3 & 1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 4 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 4 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 4 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 3 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 3 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
$

Inverzná matica je teda $A^{-1}=
\begin{pmatrix}
4 & 4 & 1 & 4 \\
2 & 3 & 3 & 2 \\
0 & 4 & 4 & 2 \\
3 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
$


Inverznú maticu v skupine B môžeme vyrátať napríklad takto:
$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 4 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
0 & 3 & 2 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 1 & 2 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 1 & 2 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 & 3 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 3 & 0 & 3 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 1 & 2 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 3 & 0 & 3 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 3 & 3 & 4 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 4 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 4 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 4 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 4 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 4 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 4 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 3 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 4 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)$

Inverzná matica je $B^{-1}=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 4 & 4 \\
2 & 3 & 3 & 2 \\
2 & 4 & 4 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 3
\end{pmatrix}$.

Všimnite si, že matica $A$ a $B$ sa líši iba tým, že riadky sú poprehadzované presne v~opačnom poradí. Matice $A^{-1}$ a $B^{-1}$ sa líšia usporiadaním stĺpcov. Vedeli by ste zdôvodniť, že to tak bude vždy? Komentáre, poznámky

Počítal som s tým, že si urobíte skúšku správnosti. (Navyše pri výpočte inverznej matice sme sa rozprávali o tom, že tu sa dá skúška správnosti robiť po každom kroku, čiže ak vám skúška nevyjde, tak sa dá ľahko nájsť, kde ste spravili chybu.)

Pridám ešte raz linku na post, kde je napísané ako sa robí skúška: viewtopic.php?t=531

Ak sa chcete pozrieť na príklad z minulého roku na túto tému, tak ta môžete pozrieť sem: viewtopic.php?t=558